什么是动态规划？（小学生能懂的版本）

动态规划（Dynamic Programming, DP） 就是 把一个大问题拆成小问题，记住小问题的答案，然后用这些答案来计算更大的问题，最终得到正确的结果。

🌟 一句话理解：
✅ “把问题拆小、存结果、一步步算大！”

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🎯 生活中的例子：爬楼梯

想象一下，你家楼梯有 n 级，每次你可以 走 1 级 或 走 2 级，问你有几种方法可以爬到楼梯的顶端？

🌱 方法 1：普通递归（不聪明的方法）

你会想到：

1. 如果你最后一步走的是 1 级，那么之前已经到达 n-1 级了，问题就变成 “从 0 级到 n-1 级有多少种方法？”
2. 如果你最后一步走的是 2 级，那么之前已经到达 n-2 级了，问题就变成 “从 0 级到 n-2 级有多少种方法？”

所以，爬到第 n 级的方法数就是：

f(n)=f(n−1)+f(n−2)f(n) = f(n-1) + f(n-2)f(n)=f(n−1)+f(n−2)

💡 代码

🌟 问题

• 这就像考试时，你老是问同一个问题 “老师，1+1=？”，老师要重复回答你很多遍，太浪费时间了！
• 递归会 重复计算相同的子问题，比如 climbStairs(4) 需要计算 climbStairs(3) 和 climbStairs(2)，但 climbStairs(3) 也会重复计算 climbStairs(2)，造成 大量重复计算，很慢！😵‍💫

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🎯 方法 2：动态规划（聪明的方法）

如果我们 记住 之前算出来的结果，就可以避免重复计算！
这就像考试时，把答案写在笔记本上，下一次就可以直接查答案！

💡 代码

✅ 这样，我们每个 dp[i] 只算一次，不会重复计算，速度超级快！

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🔥 再举一个例子：零钱兑换

💰 题目

你有很多 不同面值的硬币，想用它们拼出一定的金额 amount，但希望 用最少的硬币数量，你该怎么做？

😵 方法 1：暴力递归

• 试着用 所有可能的硬币 来拼 amount，然后找出最少的次数。
• 但这样计算会非常慢，因为 相同的金额会被计算很多次，就像考试一直问老师同样的问题！

🧠 方法 2：动态规划

• 把金额从 0 开始，一个个算出来，并存起来！
• 每个金额 dp[i] = 取当前最小的硬币 + 剩余金额的最优解！

💡 代码

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💡 你学会了吗？

方法	解释	适用场景
普通递归	直接拆问题，但重复计算，慢！	适用于小规模问题
动态规划	记住已经计算过的值，避免重复计算	适用于大规模问题，速度快！

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📌 记住动态规划的 3 个步骤

1️⃣ 定义 dp[i]：问题拆分成小问题，比如 dp[i] 表示 到 i 级的方法数 或 凑 i 元最少硬币数。
2️⃣ 状态转移方程：找出 dp[i] 和 dp[i-1]、dp[i-2] 的关系。
3️⃣ 初始化 dp，然后用循环计算，最终输出 dp[n]。

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🎯 总结

✅ 动态规划 = 递归 + 记忆化存储 + 迭代优化！
🚀 它就像做笔记：记住计算结果，避免重复计算，让程序跑得更快！ 🔥🔥🔥