DAY02——浅学动态规划（java求最长递增子序列）

动态规划

概念

动态规划（Dynamic Programming，DP）是运筹学的一个分支，是求解决策过程最优化的过程。20世纪50年代初，美国数学家贝尔曼（R.Bellman）等人在研究多阶段决策过程的优化问题时，提出了著名的最优化原理，从而创立了动态规划。动态规划的应用极其广泛，包括工程技术、经济、工业生产、军事以及自动化控制等领域，并在背包问题、生产经营问题、资金管理问题、资源分配问题、最短路径问题和复杂系统可靠性问题等中取得了显著的效果。

基本思想

动态规划算法通常用于求解具有某种最优性质的问题。在这类问题中，可能会有许多可行解。每一个解都对应于一个值，我们希望找到具有最优值的解。

与分治法的区别与联系

动态规划算法与分治法类似，其基本思想也是将待求解问题分解成若干个子问题，先求解子问题，然后从这些子问题的解得到原问题的解。与分治法不同的是，适合于用动态规划求解的问题，经分解得到子问题往往不是互相独立的。若用分治法来解这类问题，则分解得到的子问题数目太多，有些子问题被重复计算了很多次。如果能够保存已解决的子问题的答案，而在需要时再找出已求得的答案，这样就可以避免大量的重复计算，节省时间。我们可以用一个表来记录所有已解的子问题的答案。不管该子问题以后是否被用到，只要它被计算过，就将其结果填入表中。这就是动态规划法的基本思路。具体的动态规划算法多种多样，但它们具有相同的填表格式。

求最长递增子序列

nums = [1,5,2,4,3],请找出其中最长的递增子序列长度

一、暴力法

面对如此问题，我们首先想到的就是暴力枚举法

从第1位开始可以有 1 5 、1 4 、1 3 、1 2 4 、1 2 3 、1 2 3

从第2位开始可以有 5 

从第3位开始可以有 2 4、2 3

从第4位开始可以有 4

从第5位开始可以有 3

我们不难看出最长的递增子序列的长度为3

代码实现

使用递归的思路去编写代码。

public class test01 {
    public static void main(String[] args) {
        int []arr = new int[]{1,5,2,4,3};
        int result = Getlen(arr,0);
        System.out.println(result);
    }
    public static int  Getlen(int []arr,int Index){
        if(Index == arr.length-1){return 1;}            //边界
        if(arr[Index] >= arr[Index+1] ){return 0;}      //不递增
        int len = 1;
        int maxLength = 0;
        for (int i = Index + 1 ; i <arr.length; i++) {
            int temp = Getlen(arr,i);
            maxLength = temp > maxLength ? temp : maxLength;
        }
        return len + maxLength;
    }
}

不难想到若数组长度为100或者足够大时，每次计算都要将后面数的最长递增子序列计算一遍，无疑时冗余的，此时我们就可以运用动态规划的思路进行解题。

二、动态规划

可以看到暴力法已经在前面计算过以后面数字开头的最长递增子序列了，为了简化计算过程，我们可以去将在前面已经算过的以后面数字开头的最长递增子序列长度记录下来。

使用dp[ ] 存储已经计算过的最长递增子序列长度，将dp[]中的每一位数设为-1，代表未计算过最长递增子序列的长度。

代码实现

public static void main(String[] args) {
        int []arr = new int[]{1,5,2,4,3};
        int dp[] = new int[1000];
        for (int i = 0; i <dp.length; i++) {
            dp[i] = -1;
        }
        int result = Getlen(arr,0,dp);
        System.out.println(result);
    }
    public static int  Getlen(int []arr,int Index,int []dp){
        if(Index == arr.length-1){return 1;}            //边界
        if(arr[Index] >= arr[Index+1] ){return 0;}      //不递增
        if(dp[Index] != -1){return dp[Index];}
        int len = 1;
        int maxLength = 0;
        for (int i = Index + 1 ; i <arr.length; i++) {
            int temp = Getlen(arr,i,dp);
            maxLength = temp > maxLength ? temp : maxLength;
        }
        dp[Index] = len + maxLength;
        return len + maxLength;
    }