Nefu大一ACM训练入门个人题解「LYRICS」

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Nefuer-lyrics 带来热乎的acm实验室训练入门个人题解啦
如有错误 or 建议，欢迎评论区指正！

$努力成为合格甚至优秀 A c m er 的一天又一天$

在这里插入图片描述

话不多说，进入正题咯！

A Rightmost Digit 最右边的数

题面大意：求 $N^N$ 数位中最右边的数

微操一下即可发现对答案有贡献的仅是个位数和幂数 $（ N ）$

法一：分类讨论（理论依据：循环节）（更推荐法二）

如末尾为 $1$ 的任何次方都是结果仍为 $1$
末尾为 $2$ 的 $1/2/3/4//5/6/7/8$ 次方分别为 $2/4/8/6//2/4/8/6$ ，有四个一循环
末尾为 $3$ 的同理有 $3/9/7/1//3 \dots$ 的四个一循环
末尾 $4$ 就是两种结果 $4/6$ ，末尾 $5/6$ 就是本身……其他情况详见代码 $e l i f$ 部分
注意数据存储时 $x$ 为对应单循环节（如末尾为2时： $4$ ）的倍数时，数组索引 $a [0]$ 应存原本意义下的 $a [4] = 6$

Code：

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;
#define IOS ios::sync_with_stdio(false), cin.tie(0);

int main()
{
    IOS
    int T;
    cin>>T;
    while(T--)
    {
        LL x;
        cin>>x;
        LL y=x%10;
        if(y==0) cout<<"0\n";
        else if(y==1) cout<<"1\n";
        else if(y==2)
        {
            LL t=x%4;
            int a[4]={6, 2, 4, 8};
            cout<<a[t]<<"\n";
        }
        else if(y==3)
        {
            LL t=x%4;
            int a[4]={1, 3, 9, 7};
            cout<<a[t]<<"\n";
        }
        else if(y==4)
        {
            LL t=x%2;
            if(!t) cout<<"6\n";
            else cout<<"4\n";
        }
        else if(y==5) cout<<"5\n";
        else if(y==6) cout<<"6\n";
        else if(y==7)
        {
            LL t=x%4;
            int a[4]={1, 7, 9, 3};
            cout<<a[t]<<"\n";
        }
        else if(y==8)
        {
            LL t=x%4;
            int a[4]={6, 8, 4, 2};
            cout<<a[t]<<"\n";
        }
        else if(y==9)
        {
            LL t=x%2;
            if(!t) cout<<"1\n";
            else cout<<"9\n";
        }
    }
    return 0;
}

法二 (强烈推荐！) ：快速幂求 pow(n%10, n, mod=10)

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;
#define IOS ios::sync_with_stdio(false), cin.tie(0);

int qmi(int a, int k, int mod=10)
{
    int res=1;
    while(k)
    {
        if(k&1) res=res*a%mod;
        k>>=1;
        a=a*a%mod;
    }
    return res;
}
int main()
{
    IOS
    int T;
    cin>>T;
    while(T--)
    {
        int n;
        cin>>n;
        int a=n%10;
        cout<<qmi(a, n)<<"\n";//偷懒用的默认参数
    }
    return 0;
}

B 数的长度

题面大意：求 $N ！$ 在十进制下的数位长度

数字 $n$ 在十进制下的数位长度为 $len=\lfloor\log_{10}n\rfloor+1$

$ans=\lfloor\log_{10}N!\rfloor+1=\lfloor\log_{10}N+\log_{10}(N-1)+…+\log_{10}1\rfloor+1$
至此，做法已成

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;
#define IOS ios::sync_with_stdio(false), cin.tie(0);

int main()
{
    IOS
    int n;
    while(cin>>n)
    {
        double ans=0;
        for(int i=n; i>=1; i--)
            ans+=log10(i);
        cout<<(int)ans+1<<"\n";
    }
    return 0;
}

C 最左边的数

题面大意：求 $N^N$ 数位中最左边的数

作为选拔赛的防AK题，难点就在于考虑到 $log_{10}x$
下面给出一个纯数学推导的证明：

Code

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;
#define IOS ios::sync_with_stdio(false), cin.tie(0);

int main()
{
    IOS
    int T;
    cin>>T;
    while(T--)
    {
        int x;
        cin>>x;
        double t=x*log10(x);
        double d=t-floor(t);
        cout<<(int)pow(10, d)<<"\n";
    }
    return 0;
}

D 数字序列

题面大意：

$\%7$
给定 $A, B <= 1000, n <= 1 e 8$ , 求 $f (n)$

注意到递推公式中是对7取模，直观上感受这个 f(n) 的取值区间这么小，在 n 很大时必然存在循环节，且单个循环节不会很长

我是用 $ma p$ 存下来公式中 $f [i - 1] f [i - 2]$ 出现的索引 $i - 1$ ，每次更新 $f [i]$ 后在 $m p$ 里找下有没有这对数出现过，如果有那就找到了最小循环节
// 代码中特别处理的 $p os == 0$ 好像也可以不用哈

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;
#define IOS ios::sync_with_stdio(false), cin.tie(0);

int a, b, n;

int find()
{
    if(n==1||n==2) return 1;
    vi f(n+1);
    f[1]=f[2]=1;
    map<PII, int> mp;//f[i-1]f[i-2]映射到idx

    for(int i=3; i<=n; i++)
    {
        f[i]=(a*f[i-1]+b*f[i-2])%7;
        if(mp.count({f[i], f[i-1]}))
        {
            int idx=mp[{f[i], f[i-1]}];
            int len=i-idx;//i-1-idx+1
            int pos=(n-idx)%len;
            if(pos==0) pos=len;
            return f[idx+pos];
        }
        mp[{f[i], f[i-1]}]=i;
    }
    return f[n];
}
int main()
{
    IOS
    while(cin>>a>>b>>n, a||b||n)
    {
        cout<<find()<<"\n";
    }
    return 0;
}

E 昨日重现

题面大意：求从1到n的连续自然数平方和对1007取模

巧了，有数学公式（推导过程移步百度？和立方和公式有关，高数课也提到过哈）

$ans=\frac{n*(n+1)*(2*n+1)}{6} \% 1007$
取模可以先进行哈（ $1007 * 1008 * 2015$ 不会爆 int，保险起见无脑开LL也行

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;
#define IOS ios::sync_with_stdio(false), cin.tie(0);
typedef long long LL;

int main()
{
    IOS
    LL n;
    while(cin>>n)
    {
        n%=1007;
        LL ans=n*(n+1)*(2*n+1)/6;
        ans%=1007;
        cout<<ans<<"\n";
    }
    return 0;
}

F n!末尾有多少个0

做法就是求 n! 的质因子5的个数

理论依据: 末尾0是一定由 $2 * 5$ 组合而来（即使数字10也是分解成2*5），由质因数分解唯一性定理，末尾0其实就是min(2, 5)的个数，易知2个数远远大于5的因子个数

Code

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;
#define IOS ios::sync_with_stdio(false), cin.tie(0);

//质因数分解唯一性定理，末尾0其实就是min(2, 5)的个数，易知2个数远远大于5的因子个数
int main()
{
    IOS
    int n;
    while(cin>>n)
    {
        int cnt=0;
        while(n)
        {
            cnt+=n/5;
            n/=5;
        }
        cout<<cnt<<"\n";
    }
    return 0;
}

G Google is Feeling Lucky

题面大意：每组输出 value最大的网站（不唯一）

呃比较简单，题目限定了 $1 <= v a l u e <= 100$ ，二维字符串数组存 string 就行，在线记录最大 value 然后范围遍历输出即可

Code

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;
#define IOS ios::sync_with_stdio(false), cin.tie(0);

//const int N=;
void solve()
{
    vector<vector<string>> a(101);
    int maxv=0;
    for(int i=0; i<10; i++)
    {
        string s;
        int v;
        cin>>s>>v;
        maxv=max(maxv, v);
        a[v].push_back(s);
    }
    for(auto it:a[maxv]) cout<<it<<"\n";
}
int main()
{
    IOS
    int T;
    cin>>T;
    for(int i=1; i<=T; i++)
    {
        cout<<"Case #"<<i<<":\n";
        solve();
    }
    return 0;
}