数据结构（特殊二叉树-平衡二叉树）

平衡二叉树(AVL树)

• 前提一定是搜索二叉树，对于根节点的左右子树的高度差不能超过1，并且所有子树都要循序这个要求

• 如果一个搜索二叉树呈现或接近单支状，它的查找效率很低，很接近链表，因此如果能让它平衡时，查找效率最高

• 由于节点的位置要受到相互之间值的影响，并且在往平衡二叉树中添加节点或者删除节点前，二叉树本身是平衡的，所以只可能在最后操作的节点附近不满足平衡条件，因此需要在该过程中对该节点进行判断并调整。

• 因此一棵平衡二叉树因为添加操作导致不平衡的原因，总结就四种：

第一种：
            x                               y
          /   \                          /     \    
         y    t1                        z       x
       /   \                          /   \   /   \
      z    t2                        t3  t4   t2  t1
     / \
    t3 t4              以y为轴 右旋转
    
第二种：
           x                             y
         /   \                         /   \
        t1    y                       x     z
            /   \                    / \   / \
           t2    z                  t1 t2 t3 t4
                / \
               t3  t4  以y为轴 左旋转
              
              
第三种：
            x               x                z
          /   \            / \             /   \
         y    t1          z  t1           y     x 
       /   \             / \            /  \   /  \
      t2    z           y  t4          t2  t3 t4  t1   
           / \         / \ 
          t3 t4       t2 t3    
          先以z为轴左旋转          再以z为轴右旋转 达到平衡
          
第四种：
            x               x                z
          /   \            / \             /   \
         t1    y          t1  z           x     y 
             /   \           / \         /  \  /  \
            z    t2         t3  y       t1  t3 t4 t2   
           / \                 / \ 
          t3 t4               t4 t2    
          先以z为轴右旋转          再以z为轴左旋转 达到平衡

删除节点

• 待删除的节点是叶子节点，直接删除

• 待删除节点的左子树或者右子树为空，则使用非空节点替换

• 待删除节点左右子树非空，则根据左右子树的高度，选择高的一边子树，如果是左子树高，选择左子树中的最大节点赋值给待删除节点，然后再左子树中继续删除该最大节点，相当于继续处理情况1或情况2；如果是右子树高，则在右子树选择最小值节点继续同样处理。

• 删除后可能导致不平衡，需要重新调整平衡

平衡二叉树的优点：

避免了二叉搜索树呈现单支状，让其能以最佳的效率进行查找操作 O(log2n)

平衡二叉树的缺点：

在插入、删除操作时，为了达到平衡需要进行大量的左旋、右旋操作、计算高度，所以此时操作速度慢

因此AVL树适合在数据量大并且数据量比较稳定，没有太多的插入、删除操作，适合大量的查找操作。

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <stdbool.h>

//	设计二叉树节点结构
typedef struct TreeNode
{
	int data;
	struct TreeNode* left;
	struct TreeNode* right;
}TreeNode;

//	创建节点
TreeNode* create_tree_node(int data)
{
	TreeNode* node = malloc(sizeof(TreeNode));
	node->data = data;
	node->left = NULL;
	node->right = NULL;
	return node;
}

//	求高度
int high_tree(TreeNode* root)
{
	if(NULL == root) return 0;
	int lh = high_tree(root->left);
	int rh = high_tree(root->right);
	return lh>rh ? lh+1 : rh+1;
}

//	计算左右子树高度差
int def_high(TreeNode* root)
{
	if(NULL == root) return 0;
	return high_tree(root->left) - high_tree(root->right);
}

//	左旋转
TreeNode* left_rotate(TreeNode* x)
{
	TreeNode* y = x->right;
	TreeNode* t2 = y->left;

	y->left = x;
	x->right = t2;

	return y;
}

//	右旋转
TreeNode* right_rotate(TreeNode* x)
{
	TreeNode* y = x->left;
	TreeNode* t2 = y->right;

	y->right = x;
	x->left = t2;

	return y;
}


//	自动调整平衡 并返回调整后的根节点
TreeNode* auto_balance(TreeNode* x)
{
	if(NULL == x) return NULL;

	int lh = high_tree(x->left);
	int rh = high_tree(x->right);

	//	左子树高于右子树 超过1
	if(lh - rh > 1)
	{
		//	情况1
		if(def_high(x->left) >= 0)
		{
			//	右旋转
			x = right_rotate(x);
		}
		//	情况3
		else 
		{
			//	左旋转
			x->left = left_rotate(x->left);
			//	右旋转
			x = right_rotate(x);
		}
	}
	//	或者 右高于左 超过1
	else if(rh - lh > 1)
	{
		//	情况2
		if(def_high(x->right) <= 0)
		{
			//	左旋转
			x = left_rotate(x);
		}
		//	情况4
		else
		{
			//	右旋转
			x->right = right_rotate(x->right);
			//	左旋转
			x = left_rotate(x);
		}
	}
	return x;
}

//	添加 返回添加成功后的根节点
TreeNode* insert_tree(TreeNode* root,int data)
{
	if(NULL == root)
		return create_tree_node(data);

	//	节点添加到合适的位置中
	if(data < root->data)
		root->left = insert_tree(root->left,data);
	else
		root->right = insert_tree(root->right,data);

	//	有可能添加后该位置破坏平衡 需要调整
	root = auto_balance(root);

	return root;
}

//	找最大值
TreeNode* max_tree_node(TreeNode* root)
{
	if(NULL == root) return NULL;
	TreeNode* max = root;
	while(max->right) max = max->right;
	return max;
}

//	找最小值
TreeNode* min_tree_node(TreeNode* root)
{
	if(NULL == root) return NULL;
	TreeNode* min = root;
	while(min->left) min = min->left;
	return min;
}

TreeNode* delete_tree(TreeNode* root,int data)
{
	if(NULL == root) return NULL;

	if(root->data == data)
	{
		//	左右皆空 直接删
		if(NULL == root->left && NULL == root->right)
		{
			free(root);
			return NULL;
		}

		//	左空 替换为右子树 
		if(NULL == root->left)
		{
			TreeNode* temp = root->right;
			free(root);
			return temp;
		}
		//	右空 替换为左子树
		if(NULL == root->right)
		{
			TreeNode* temp = root->left;
			free(root);
			return temp;
		}

		//	左右都非空
		//	左边高
		if(def_high(root) >= 0)
		{
			TreeNode* max = max_tree_node(root->left);
			root->data = max->data;
			root->left = delete_tree(root->left,max->data);
		}
		//	右边高
		else
		{
			TreeNode* min = min_tree_node(root->right);
			root->data = min->data;
			root->right = delete_tree(root->right,min->data);
		}
		//	重新调整平衡
		root = auto_balance(root);
		return root;
	}

	if(data < root->data)
		root->left = delete_tree(root->left,data);
	else 
		root->right = delete_tree(root->right,data);

	//	重新调整平衡
	root = auto_balance(root);
	return root;
}


//	遍历
void dlr_show(TreeNode* root)
{
	if(NULL == root) return;
	printf("%d ",root->data);
	dlr_show(root->left);
	dlr_show(root->right);
}

void ldr_show(TreeNode* root)
{
	if(NULL == root) return;
	ldr_show(root->left);
	printf("%d ",root->data);
	ldr_show(root->right);
}

void lrd_show(TreeNode* root)
{
	if(NULL == root) return;
	lrd_show(root->left);
	lrd_show(root->right);
	printf("%d ",root->data);
}

int main(int argc,const char* argv[])
{
	TreeNode* root = NULL;
	for(int i=0; i<10; i++)
	{
		root = insert_tree(root,i+1);
	}
	root = insert_tree(root,20);
	root = delete_tree(root,4);
	dlr_show(root);
	printf("\n");
	ldr_show(root);
	printf("\n");
	lrd_show(root);
	printf("\n");
}