XJTUSE-离散数学-代数系统-优快云博客

代数系统

要满足：

封闭性
后者唯一

基本性质

结合律
交换律
消去律
幺元（若有则唯一）
零元（若有则唯一）
逆元
分配律

子代数系统

由于代数系统已经满足了后者唯一，子代数系统只需要在子集的情况下满足封闭性即可。

代数系统的同构与同态

同态公式

设<X,f> 和 <Y,g>是两个代数系统，存在一个函数h，对于 $\forall (x_1,x_2,...,x_n) \in X^n$ 有如下公式:

$h(f(x_1,x_2,...,x_n)) = g(h(x_1),...,h(x_n))$

则称h对f，g保持运算，称上面的式子为同态公式。

同构

代数系统是同类型的
h是双射函数
满足同态公式

同态

满足同态公式即可，对于不同的h，有不同的称呼

h是单射，单同态函数，单同态象。
h是满射，满同台函数，满同态象。
h是双射，同构。

半群

<X,*>是半群要满足如下条件：

代数系统
*是二元运算
满足结合律

满足交换律 => 交换半群

有幺元 => 含幺半群

循环半群

满足如下： $\forall x \in X , x^1 = x , x^{m+1} = x^m * x$

循环半群有生成元 $x_0$

典型的循环半群： <N,+> $<N_5,+_5>$

子半群

子代数系统 + 半群

群

<G,*>是群要满足如下条件：

是代数系统
*是二元运算
满足结合律
有幺元
每个元素都有逆元

群的基本性质

<G,*>是群， |G| > 1

逆元唯一
无零元

满足消去律

阶

<G,*>是群，对每一个g，使得 $g^k = e$ 的最小正整数k就是g的阶。若不存在，则阶是无穷。

若k=n，则 $g_1,g_2,....,g_n$ 各不相同
若k为正无穷，则全部元素互不相同。
若|G|=n,则每个元素的阶小于等于n。

循环群

循环群与循环半群定义相似，不过循环半群是生成元的正整数次幂，循环群是生成元的整数幂。

a为生成元，a的阶为m，同构于 $<N_m,+_m>$
a为生成元，a的阶为无穷，同构于 $<Z,+>$

循环群 => 交换群

置换群

子群

充分必要条件：

$\forall a,b \in S , a*b \in S$
$\forall a \in S , a^{-1} \in S$

充分必要条件：

$\forall a,b \in S, a*b^{-1} \in S$

有限群的子群的充分必要条件：

$\forall a,b \in S , a*b \in S$

陪集和Lagrange定理

设(H,*)为群(G,*)的子群，对于G中任意元素a，定义集合 $a*H = \{a * h_0, a * h_1, a * h_0, ... \}$ 为H的左陪集，同样定义集合 $H*a = \{h_0 * a, h_1 * a, h_2 * a,...\}$ 为H的右陪集。

陪集的性质

所有陪集构成了划分，而且划分唯一。

|aH| = |H| |Hb| = |H|

$S_l , S_r$ 分别为左陪集集合，右陪集集合，称| $S_l$ | ，| $S_r$ |为G关于H的指数

Lagrange定理

有指数k，|G| = k|H|

如下结论：

素数阶群，只有两个子群，两个平凡子群
有限群，每个元素的阶都是群的阶的因子。
每个素数阶的群都是循环群。
四阶不同构的群只有两个，一个是四阶循环群，一个是Klein-4群。

环

$<R,\bigoplus ,\bigotimes >$ 是环要满足：

$<R,\bigoplus>$ 是交换群
$<R,\bigotimes >$ 是半群
$\bigotimes$ 对 $\bigoplus$ 满足分配律。

整数环，矩阵环，整数模环，多项式环

交换环： $\bigotimes$ 满足交换律

含幺环： $\bigotimes$ 有幺元

基本性质

$\bigoplus$ 的幺元是 $\bigotimes$ 的零元
$(-a) \bigotimes b = a \bigotimes (-b) = -a \bigotimes b$

零因子

零因子： $\forall a,b \in R,a \neq 0,b \neq 0, a \bigotimes b = 0$ ,a为b的左零因子，b为a的右零因子。

无/含零因子环的充分必要条件： $\bigotimes$ 满足/不满足消去律。

整环

$<R,\bigoplus ,\bigotimes >$ 是环，若

$\bigotimes$ 满足交换律
$\bigotimes$ 幺元
$\bigotimes$ 无零因子（满足消去律）

则 $<R,\bigoplus ,\bigotimes >$ 整环。

除环

$<R,\bigoplus ,\bigotimes >$ 是环，若

关于 $\bigotimes$ 有幺元
$\forall a \in R, a \neq 0$ ，a有逆元。

则 $<R,\bigoplus ,\bigotimes >$ 除环。

若是除环 => 则为含幺的无零因子环。

域

$<R,\bigoplus ,\bigotimes >$ 可交换的除环，则称为 $<R,\bigoplus ,\bigotimes >$ 为域。

$<R,\bigoplus>$ 是交换群
$<R/\{0\},\bigotimes >$ 是交换群，其中0是 $\bigoplus$ 的幺元。
$\bigotimes$ 对 $\bigoplus$ 满足分配律。

有理数域，实数域，复数域

一些定理

有限整环 => 域