前缀和学习

前缀和是指某序列的前n项和，可以把它理解为数学上的数列的前n项和

具体做法：

首先做一个预处理，定义一个sum[]数组，sum[i]代表a数组中前i个数的和。

求前缀和运算：

const int N = 1e5 + 10;
int sum[N], a[N]; //sum[i]=a[1]+a[2]+a[3].....a[i];
for(int i = 1;i <= n; i++)
{ 
    sum[i] = sum[i - 1] + a[i];   
}

然后查询操作：

 scanf("%d%d",&l,&r);
 printf("%d\n", sum[r] - sum[l - 1]);

对于每次查询，只需执行sum[r] - sum[l - 1] ，时间复杂度为O(1)

原理

这样，对于每个询问，只需要执行 sum[r] - sum[l - 1]。输出原序列中从第l个数到第r个数的和的时间复杂度变成了O(1)。

我们把它叫做一维前缀和。

例题1：

 程序设计

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int N = 100010;

int n , m ;  //n：数组长度  m：查询次数
int a[N];    //表示原数组
int s[N];    //表示前缀和数组

int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);             //读取数组长度n 和查询次数m
    
    for(int i=1 ; i<=n ; i++)
    {
        scanf("%d",&a[i]);           //读取数组
        s[i] = s[i-1] + a[i];        //预处理数组前n项和
    }
    
    while(m--)
    {
        int l,r;
        scanf("%d%d",&l,&r);         //读取左右区间
        printf("%d\n",s[r]-s[l-1]);  //查询计算区间数组的和
    }
    
    return 0;
}

二维前缀和

先给出问题：

输入一个n行m列的整数矩阵，再输入q个询问，每个询问包含四个整数x1, y1, x2, y2，表示一个子矩阵的左上角坐标和右下角坐标。对于每个询问输出子矩阵中所有数的和。

同一维前缀和一样，我们先来定义一个二维数组s[][] , s[i][j] 表示二维数组中，左上角(1, 1)到右下角(i, j)所包围的矩阵元素的和。接下来推导二维前缀和的公式。

先看一张图：

紫色面积是指(1, 1)左上角到(i, j - 1)右下角的矩形面积, 绿色面积是指(1, 1)左上角到(i - 1, j )右下角的矩形面积。每一个颜色的矩形面积都代表了它所包围元素的和。

从图中我们很容易看出，整个外围蓝色矩形面积s[i][j] = 绿色面积s[i - 1][j] + 紫色面积s[i][j - 1] - 重复加的红色的面积s[i - 1][j - 1] + 小方块的面积a[i][j];

因此得出二维前缀和预处理公式

s[i][j] = s[i - 1][j] + s[i][j - 1 ] + a[i] [j] - s[i - 1][j - 1]

接下来回归问题去求以(x1,y1)为左上角和以(x2,y2)为右下角的矩阵的元素的和。

如图：

紫色面积是指 (1, 1)左上角到(x1 - 1, y2)右下角的矩形面积 ，黄色面积是指(1, 1)左上角到(x2, y1 - 1)右下角的矩形面积；

不难推出：

绿色矩形的面积 = 整个外围面积s[x2, y2] - 黄色面积s[x2, y1 - 1] - 紫色面积s[x1 - 1, y2] + 重复减去的红色面积 s[x1 - 1, y1 - 1]

因此二维前缀和的结论为：

1.   以(x1, y1)为左上角，(x2, y2)为右下角的子矩阵的和为：
      s[x2, y2] - s[x1 - 1, y2] - s[x2, y1 - 1] + s[x1 - 1, y1 - 1]

2.   预处理：S[x,y] = S[x-1,y] + S[x,y-1] - S[x-1,y-1] + a[x,y]

例题2

 程序设计

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int N = 1010;

int n , m , q ;                 //n行 ， m列 ，q个查询
int a[N][N], s[N][N];           //a :原数组  s：总和数组

int main()
{
    scanf("%d%d%d",&n,&m,&q);  //读取n行 ， m列 ，q个查询
    
    for(int i=1;i<=n;i++)      
    {
        for(int j=1;j<=m;j++)
        {
            scanf("%d",&a[i][j]);              //读取二维数组
            s[i][j] = s[i-1][j] + s[i][j-1] - s[i-1][j-1] +a[i][j];   //预处理数组
        }
    }
    while(q--)
    {
        int x1,y1,x2,y2;
        scanf("%d%d%d%d",&x1,&y1,&x2,&y2);      //读取二维数组左上和右下的位置
        printf("%d\n",s[x2][y2]-s[x1-1][y2]-s[x2][y1-1]+s[x1-1][y1-1]);
    }
    return 0;
}