代码随想录训练营第四十一天|343.整数拆分、96.不同的二叉搜索数

343.整数拆分

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1.代码展现

//343整数拆分
int integerBreak(int n) {
	//step1 构建dp数组，确定dp[i]的含义
	//dp[i]的含义是i被拆分后的积的最大值
	vector<int> dp(n + 1, 0);
	//step2 确定递推公式
	//dp[i] = max(dp[i], max(j * (i - j), j * dp(i - j)))
	//step3 dp初始化，dp[0], dp[1]初始化没有意义，不能被拆分成正整数
	//根据递推公式，只需要初始化dp[2]
	dp[2] = 1;
	//step4 遍历
	for (int i = 3; i <= n; i++) {
		for (int j = 1; j < i; j++) {
			dp[i] = max(dp[i], max(dp[i - j] * j, (i - j) * j));
		}
	}
	return dp[n];

}

2.本题小节

        思考：首先要明确递推公式的由来，本题的核心就是将一个数字拆成两个数字，然后进行乘积，被拆得数字还可以继续拆，直到不能拆为止，观察递推公式可以看出，在拆分得过程中供dp[i]选择得情况有三种：选择dp[i]，证明这次拆分的两种结果都不及dp[i]大，这种情况一般出现在拆分的后半段，dp[i]已经获得最大值时；选择dp[i - j] * j，说明i被拆成了三个即三个以上的数， 如10被拆成了3，3，4，这情况就是dp[7] * 3，dp[7] 最大值是被拆成3 * 4 时；选择（i - j）* j时，如dp[4]，为2 * 2。当然这几种情况都是举例子，实际上也会出现dp[i - j] * j = (i - j) * j的情况。由于i需要拆分为正整数，因此初始化时i = 0 和 i = 1的情况是不存在的，没有意义。

        基本思路：把握好递归公式的由来和遍历顺序本题就比较好做了，跟着五部曲来。

96.不同的二叉搜索数

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1.代码展现

//96 不同的二叉搜索树
int numTrees(int n) {
	//step1 构建dp数组
	//dp[i]的意义是i个节点组成的二叉树的个数
	vector<int> dp(n + 3, 0);
	//step2 推导递推公式
	//dp[i] += dp[j] * dp[i - j - 1]
	//step3 初始化dp数组
	dp[0] = 1;
	dp[1] = 1;
	dp[2] = 2;
	if (n <= 2) {
		return dp[n];
	}
	//step4 开始遍历
	for (int i = 3; i <= n; i++) {
		for (int j = 0; j < i; j++) {
			dp[i] += dp[j] * dp[i - j - 1];
			//step5 打印数组
		}
	}
	return dp[n];

 2.本题小节

        思考：本题的递推公式比较难想到，这个递推公式还是要多多理解，就拿n = 3 来说，当1为根节点时，左边节点个数为0，右边节点个数为2，此时左边的节点分布和dp[0]一样，右边的节点分布情况和dp[2]一样，因此能够组成的情况为dp[0] * dp[2]，当2、3为根节点同理，由此可以推导出递推公式。dp数组初始化时注意指针越界，因此容器最小设置为3。

        基本思路：理解递推公式的推导以及遍历顺序，跟着五步走即可。