《星空解题家》：最大公约数GCD∏最大公倍数LCM【问题】—朴素枚举，辗转相除法，更相减损术，Stein算法

前言：求解最大公约数从高中一直到现在，始终是数学与程序设计的经典。现在，让我们看看GCD的四种解法

定义⋙

约数/因数（Divisor）： 整数b除以整数a(b≠0) 除得的商正好是整数而没有余数，我们就说b能被a整除，或a能整除b。即：定义正整数a、b,有 b mod a=0,则称a为b的约数

倍数（multiple）：一个整数能够被另一个整数整除，那么这个整数就是另一整数的倍数。即：定义正整数a,b，有b mod a=0,则称b为a的倍数

最大公约数【Greatest Common Divisor(GCD)】：也称最大公因数，最大公因子，指两个或多个整数共有约数中最大的一个。
a,b的最大公约数记为(a,b);
a,b,c的最大公约数记为(a,b,c)

最小公倍数【Least Common Multiple】：指两个或多个整数公有倍数中除零外最小的一个
a,b的最大公约数记为[a,b];
a,b,c的最大公约数记为[a,b,c]

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问题描述⋙

给你两个正整数a、b,求a、b的最大公约数和最小公倍数，设已知a≧b

💥补充：[a,b]=a × b ÷ (a,b)
所以，我们只要求出a,b的最大公约数，最大公倍数便可直接求出

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1：朴素枚举法⋙

要求a、b的最大公约数，我们可以从大到小枚举a的约数，然后再判断它是不是b的约数，不断枚举，直到找到满足条件的最大公约数

[1]朴素枚举C/C++代码实现如下🌀

int gcd(int a,int b){
   
    int mi=min(a,b);
    int mx=max(a,b);
    for(int i=mi;i>=2;i--){
    //最好从两数中的较小者
        if(mi%i==0&&mx%i==0) //开始枚举,以减少不必要的计算
            return i;
         }
    return 1;
}

[2]朴素枚举法：流程图😈：

注：如果题目没给a、b的大小关系，加条补充

这个算法只经历一次循环，时间复杂度为O(n),貌似还可以，但有人给了我们更优的算法！他们是————

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2：欧几里得辗转相除法——《几何原本》⋙

[1]辗转相除法公式：gcd(a,b) = gcd(b,a mod b)

实现补充：非零数n与0的最大公约数永远为n
证明如下——

记a为两数中的更大数，b为较小数

1.首先，当b≠0时，记a=kb+r （a,b,k,r均为正整数，且r=a mod b）
2.假设d是a,b的一个公约数，记作d|a,d|b，即a和b都可以被d整除。
而r = a - kb，两边同时除以d，r/d=a/d-kb/d，由等式右边可知m=r/d为整数，因此d|r
3.因此d也是b,a mod b的公约数。
4.因(a,b)和(b,a mod b)的公约数相等，则其最大公约数也相等，得证gcd(a,b) = gcd(b,a mod b)

示例：
假如需要求 2022 和 507两个正整数的最大公约数,用欧几里得算法，是这样进行的：

2022/507=3   余501
 507/501=1   余6
 501/6=83    余3
 6/<