九大排序之桶排序

1. 概述

桶排序（Bucket Sort）又称箱排序，是一种比较常用的排序算法。其算法原理是将数组分到有限数量的桶里，再对每个桶分别排好序（可以是递归使用桶排序，也可以是使用其他排序算法将每个桶分别排好序），最后一次将每个桶中排好序的数输出。

2. 算法详解

桶排序的思想就是把待排序的数尽量均匀地放到各个桶中，再对各个桶进行局部的排序，最后再按序将各个桶中的数输出，即可得到排好序的数。

1.首先确定桶的个数。因为桶排序最好是将数据均匀地分散在各个桶中，那么桶的个数最好是应该根据数据的分散情况来确定。首先找出所有数据中的最大值mx和最小值mn；

根据mx和mn确定每个桶所装的数据的范围 size，有
size = (mx - mn) / n + 1，n为数据的个数，需要保证至少有一个数，故而需要加个1；

求得了size即知道了每个桶所装数据的范围，有
cnt = (mx - mn) / size + 1，需要保证最少有1个桶，故而需要加个1；

2.求得了size和cnt后，即可知第一个桶装的数据范围为 [mn, mn + size)，第二个桶为 [mn + size, mn + 2 * size)，…，以此类推因此步骤2中需要再扫描一遍数组，将待排序的各个数放进对应的桶中。

3.对各个桶中的数据进行排序，可以使用其他的排序算法排序，例如快速排序；也可以递归使用桶排序进行排序；

4.将各个桶中排好序的数据依次输出，最后得到的数据即为最终有序。

eg:

例如，待排序的数为：3, 6, 9, 1

1）求得 mx = 9，mn = 1，n = 4
size = （9 - 1) / n + 1 = 3
cnt = (mx - mn) / size + 1 = 3

2）由上面的步骤可知，共3个桶，每个桶能放3个数，第一个桶数的范围为 [1, 4)，第二个[4, 7)，第三个[7, 10)
扫描一遍待排序的数，将各个数放到其对应的桶中，放完后如下图所示：

代码测试：

#include <iostream>
#include <vector>

using namespace std;

class BucketSort {
public:
    void bucketSort(vector<int> &nums) {
        int n = nums.size();
        int mn = nums[0], mx = nums[0];
        for (int i = 1; i < n; i++) {
            mn = min(mn, nums[i]);
            mx = max(mx, nums[i]);
        }
        int size = (mx - mn) / n + 1;   // 桶的个数，size 至少要为1
        int cnt = (mx - mn) / size + 1; // 桶中的数据个数，至少为1
        vector<vector<int>> buckets(cnt);
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            int idx = (nums[i] - mn) / size;
            buckets[idx].push_back(nums[i]);
        }
        for (int i = 0; i < cnt; i++) {
            sort(buckets[i].begin(), buckets[i].end());
        }
        int index = 0;
        for (int i = 0; i < cnt; i++) {
            for (int j = 0; j < buckets[i].size(); j++) {
                nums[index++] = buckets[i][j];
            }
        }
    }
};


int main() {
    vector<int> nums = {19, 27, 35, 43, 31, 22, 54, 66, 78};
    BucketSort().bucketSort(nums);
    for (auto num: nums) {
        cout << num << " ";
    }
    cout << endl;
    return 0;
}

3. 时间复杂度和空间复杂度分析

最好时间复杂度 : O(n + k)
其中k为桶的个数。即当数据是均匀分散排列的，那么每个桶分到的数据个数都是一样的，这个步骤需要O(k)的书剑复杂度，在对每个桶进行排序的时候，最好情况下是数据都已经是有序的了，那么最好的排序算法的时间复杂度会是O(n)，因此总的时间复杂度是 O(n + k) 。

最坏时间复杂度：O(n^2)
当对每个桶中的数据进行排序的时候，所使用的排序算法，最坏情况下是O(n^2)，因此总的最坏情况下的时间复杂度为O(n^2）。

平均时间复杂度：O(n + n²/k + k) <=> O(n)
如果k是根据Θ(n)来获取的，那么平均时间复杂度就是 O(n)。