【数模—图论】最短路径

一、图论基本概念

点表示事物，连接两点的线表示关系。

图的数学表达：G (V(G), E(G) ）

其中，V指图的顶点集，E指图的边集。

做图网址：https://csacademy.com/app/graph_editor/

无向图权重邻接矩阵

        1） 对称矩阵

        2）主对角线元素为0

        3）表示i到j节点的权重

节点个数	1	2	3	4
1	0	inf	3	3
2	inf	0	inf	5
3	3	inf	0	2
4	3	5	2	0

      

二、DIJKATRA迪杰斯特拉

算法思路：

①两个集合：集合a用来存放已经找到最短路径的点

                      集合b用来存放还未找到最短路径的点

                      （P S：一开始，只有源点在集合a中）

                      （P S：在代码中可以用flag=True/False来表示是否在集合a中）

②dis[n]数组：用来存放源点到各个点的距离

    road[n][n]：用来存放m条有向边（eg. road[3][4] 表示点3到点4的距离）

算法实现：

        ①查找从源点出发的有向线段，录入 dis[i]

        ②查找 dis 中最小值（在集合b中的点），并把此点（记为pre）加入到集合a中

        ③查找从 pre 出发的有向线段，比较 dis[i] 和 dis[pre]+road[pre][i] 的大小，更新 dis[i]

        ④直至 集合b 的点都加入到 集合a 中

局限性：不能处理有负权重的图

三、Bellman Ford贝尔曼福特

适用场景：具有负权重的有向图

与Dij的区别：不再区分为是否已经访问，每循环一次更新所有节点信息。

四、代码实现

def dijkstra(graph,start):    #graph表示点线相连权重
    distances = {vertex: float('infinity') for vertex in graph}
    distances[start] = 0      #源点到自身为0，未连接线段为inf无穷

    parent = {vertex: None for vertex in graph}
    priority_queue = [(0,start)]    # 初始化父亲节点，未访问任何节点所以全部设置为 None

    while priority_queue:
        # 弹出堆中距离最小的节点
        current_distance, current_vertex = heapq.heappop(priority_queue)
        # print("距离最小的节点是:",current_distance, current_vertex, "更新后的队列:",priority_queue)

        # 如果当前距离已经大于已知的最短距离，则跳过
        if current_distance > distances[current_vertex]:
            continue

        # 更新相邻节点的距离
        for neighbor, weight in graph[current_vertex].items():
            distance = current_distance + weight
            # print("相邻节点的距离:",neighbor,distance)

            # 如果找到更短的路径，则更新距离，并将节点加入优先队列
            if distance < distances[neighbor]:
                distances[neighbor] = distance
                parent[neighbor] = current_vertex
                heapq.heappush(priority_queue, (distance, neighbor))
                # print("加入后的队列:",priority_queue)
    return distances, parent

函数返回值：从起始点到每个节点的最短距离，和每个节点对应的父亲节点。