数据结构与算法学习笔记----贪心·绝对值不等式

数据结构与算法学习笔记----贪心·绝对值不等式

@@ author: 明月清了个风
@@ first publish time: 2025.4.5

ps⭐️感觉其实是一个数学的问题，

Acwing 104. 货仓选址

[原题链接](104. 货仓选址 - AcWing题库)

在一条数轴上有$N$家商店，他们的坐标分别为$A_1\sim A_N$.

现在需要在数轴上建立一家货仓，每天清晨，从货仓到每家商店都要运送一车商品。

为了提高效率，求把货仓建在何处，可以使得货仓到每家商店的距离之和最小。

输入格式

第一行输入整数$N$，

第二行$N$个整数$A_1\sim A_N$。

输出格式

输出一个整数，表示距离之和的最小值。

数据范围

$1\le N\le 100000$，

$0\le A_i\le 40000$

思路

将所有商店的位置记为$x_1,x_2,\cdots ,x_n$，货仓的位置为$x， 那么距离之和就是
$$f(x)=|x_1-x|+|x_2-x|+\cdots +|x_{n-1}-x|+|x_n-x|$$
那么对于题目就转化为求$f(x)$的最小值，将式(1)移项变为两两一对的表示方法
$$f(x)=（|x_1-x|+|x_n-x|）+(|x_2-x|+|x_{n-1}-x|)+\cdots$$
对于每一个括号里的值来说的最小值就是$|x_n-x_1|$，当$x$满足$x_1\le x\le x_n$即可，对于任意一组都满足$x$在两个端点之间，就可以推出$x$一定在所有点的中间位置。

放在代码的处理上就可以简单一点，将这个位置放在中间的一组的两个商店的某一个店上就行，可以直接取$a[n/2]$的位置。

代码

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int N = 100010;

int n;
int a[N];

int main()
{
    cin >> n;
    
    for(int i = 0; i < n; i ++) cin >> a[i];
    
    sort(a, a + n);
    
    int res = 0;
    
    for(int i = 0; i < n; i ++) res += abs(a[i] - a[n / 2]);
    
    cout << res << endl;
    
    return 0;
}