数据结构与算法学习笔记----单调队列

数据结构与算法学习笔记----单调队列

@@ author: 明月清了个风

@@ last edited: 2024.11.23

Acwing 154. 滑动窗口

给定一个大小为$n\le 10^6$的数组。有一个大小为$k$的滑动窗口，它从数组的最左边移动到最右边。你只能在窗口中看到$k$个数字，每次滑动窗口向右移动一个位置。

以下是一个例子：

该数组为[1 3 -1 -3 5 3 6 7],$k$为$3$。

窗口位置	最小值	最大值
[1 3 -1] -3 5 3 6 7	-1	3
1 [3 -1 -3] 5 3 6 7	-3	3
1 3 [-1 -3 5] 3 6 7	-3	5
1 3 -1 [-3 5 3] 6 7	-3	5
1 3 -1 -3 [5 3 6] 7	3	6
1 3 -1 -3 5 [3 6 7]	3	7

你的任务是确定滑动窗口位于每个位置时，窗口中的最大值和最小值。

输入格式

输入包含两行。

第一行包含两个整数$n$和$k$，分别代表数组长度和滑动窗口的长度

第二行有$n$个整数，代表数组的具体数值。

同行数据之间用空格隔开。

输出格式

输出包含两个。

第一行输出，从左至右，每个位置滑动窗口中的最小值。

第二行输出，从左至右，每个位置滑动窗口中的最大值。

讲解

优化思路

此题为单调队列的经典题目，这里只讲解第一部分——滑动窗口取最小值，最大值思路一样。

暴力做法可以如下伪代码：

...
    for(int i = k - 1; i < n; i ++) // 遍历数组中元素
    {
        int minv = a[i];
        for(int j = i; i - j + 1 < k; j --)   // 对于每个元素向前遍历k个元素
           minv = min(minv, a[j]);		// 找k个元素中的最小值
       	cout << minv << endl;
    }
...

时间复杂度最坏为**O($n\ast k$)**

但是根据题目给出的例子可以发现当前遍历到的第i个元素如果比窗口已存元素更小，那么在第i个元素之前的元素永远无法再成为最小值

举例，当窗口中已有元素为[1 3 2]，而当前新的元素为0，则滑入窗口后变为[3 2 0]，要求最小值时，可以发现0将之前所有的元素全部屏蔽了。因此这里可以进行优化，0之前的元素不用进行遍历，也就是第二个循环可以优化到**O(1)**

代码思路

根据题目可知主要的限制条件有两个：

1. 滑动窗口大小为$k$
2. 要求滑动窗口中的最小值。

第一个条件要求我们需要判断队列中队头元素的索引值与当前遍历到的第$i$个元素是否仍同处于一个满足长度不大于$k$的滑动窗口，因此需要考虑元素的存储方式。
如果在队列中直接存储元素的值，那么在进行滑动窗口长度合法性判断的时候会很麻烦，考虑到元素值已在原数组中保存，因此选择在队列中存储索引值，这是一种常用的技巧。

模拟队列的初始化方式和模版一样hh = 0, tt = -1，需要进行滑动窗口长度合法性判断的时候只需要i - k + 1 > q[hh]，也就是队头存的元素的索引到当前遍历到的第i个元素是否已经超过k，当然在这之前需要先判断hh <= tt，也就是队列中是否有元素。判断完成后即可将当前元素加入队列中，当然，因为有第二个限制条件，在加入之前还要一步维护单调队列的操作

也就是判断当前队列中是否是单调递增的，如果不是，从队尾挨个pop出来就行。

代码

#include <iostream>

using namespace std;

const int N = 1000010;

int n;
int a[N], q[N];

int main()
{
    int n, k;
    cin >> n >> k;
    for(int i = 0; i < n; i ++) cin >> a[i];
    
    int hh = 0, tt = -1;
    
    for(int i = 0; i < n; i ++)
    {
        if(hh <= tt && i - k + 1 > q[hh]) hh ++; // 滑动窗口合法性判断
        while(hh <= tt && a[q[tt]] >= a[i]) tt --;   // 队列单调性维护
        q[++ tt] = i;   // 新元素入队
        if(i >= k - 1) cout << a[q[hh]] << ' ';
    }
    cout << endl;
    hh = 0, tt = -1;
    for(int i = 0; i < n; i ++)
    {
        if(hh <= tt && i - k + 1 > q[hh]) hh ++;
        while(hh <= tt && a[q[tt]] <= a[i]) tt --;
        q[++ tt] = i;
        if(i >= k - 1) cout << a[q[hh]] << ' ';
    }
    
    return 0;
}