用python模拟和绘制SAW路径（自回避随机行走问题）

自回避随机行走问题（SAW），即在格点上不与历史轨迹相撞的随机行走，本文简要说明一种利用python模拟和绘制SAW路径的方法。（完整代码在文章末尾，文字部分是按思考的顺序，代码是最终版本，中间部分代码会出现和文字有出入的内容，建议先看思路）

该路径生成碰到的主要问题是锁死，原因在于路径闭合后随机走向了空间有限的一侧，导致在达到设定步数前出现无路可走的情况。该方法的核心就是在路径闭合时选择闭合圈的外侧，避免进入圈内锁死。

为简单起见所用的是标准的方形网格，可能的前进方向只有4种，排除上一步的落点对应方向，除第一步外（第一步四向随机）可能前进的方向至多三种。设定一个每步更新的可行方向集合，接下来的限制条件均是从中去除某些项。

（Tips:方向可设为ev=[(1,0),(0,1),(-1,0),(0,-1)]，行进用坐标相加，某方向的取反%4，向右（-1）%4，向左（+1）%4，后面会用上）

ev=[(1,0),(0,1),(-1,0),(0,-1)]

为了避免判断历史轨迹需要遍历，将网格赋值为零矩阵，每一步的落点赋值为1，仅需判断周围格点的值，不为0可把对应方向排除。边界设为-1，避免和路径混淆。

order=np.zeros((2*s+3,2*s+3),dtype=int)       #顺序矩阵
direc=[]                            #方向矩阵
for i in np.arange(2*s+3):          #设定边界为-1
    order[0][i]=-1
    order[-1][i]=-1
    order[i][0]=-1
    order[i][-1]=-1       
nucx=[s+1]                           #路径位置记录
nucy=[s+1]
new=(s+1,s+1)                        #暂时位置
order[s+1][s+1]=1                    #设定起点

经简单推导可知，仅路径前端的前、左、右，斜前方5格内出现1才会出现锁死的可能，故就此进行分类讨论。（示意图如下，红色为路径，黄色为讨论区块）

垂直方向（五角星处）优先判断，出现一个1记一个“wall”（每步清零），且在可行方向集合中除去该方向。

wall=0
avi=[0,1,2,3]
ju=0
if k!=0:                         #第一步完全随机
    avi.remove((direc[-1]+2)%4)
    for i in np.arange(3):
        ju=order[new[0]+ev[(direc[-1]-1+i)%4][0]][new[1]+ev[(direc[-1]-1+i)%4][1]]
        if ju!=0:
            wall+=1
            avi.remove((direc[-1]-1+i)%4)

wall==3即为锁死，可输出锁死时的步数和位置，输出图进行比对，检查出现锁死的原因。（在前期用于修正和添加限制条件，认图找端点困难时步数也一般很大，出现锁死的几率不大，算法接近完整后可换成归零条件，即重新计算至能跑到规定步数为止）

 if wall==3:
     #print(k)
     #print(new)
     restart=True
     break

wall==2即只有一个方向可走，下一步方向唯一，无需再做排除。

wall==1即有一个方向被堵，此时分为两种情况：前方被堵和侧面被堵。其中前方被堵必定出现了路径闭合，只能选择一个方向。经推导易知在闭合圈不包围原点时，应排除与"wall"所在格前一步或后一步相同的方向（在可行方向内）；包围原点时，应排除相反的方向。

 

此时发现原本的数值矩阵不能用于该判断，再引入一个方向集合和顺序矩阵，顺序矩阵可以代替数值矩阵。方向集合记录每一步 的方向（ev集合的序号），顺序矩阵初始也是零矩阵，每步的落点赋值该步的顺序。判断某点前后的方向只需以该点顺序作为索引调取方向集合的值。

判断闭合圈是否包围原点则从发生闭合的端点开始（此处是从"wall"所在格开始），沿路径检查其经过象限。新增一个判断集合，若新元素和集合内已有的倒数第二个元素相同（如出现1 4 1），则该元素和倒数第一个元素都可弃置（对是否围住原点没有影响