Making the Grade (dp)

Making the Grade

题目

求构造一个单调不减或者单调不增的最小花费
花费：把$a_i=>b_i$的花费为 $|a_i-b_i|$.

思路

• 这是一个求构造LIS的最小花费问题，优先选择动态规划。
• 定义：$dp[i][j]$表示考虑前$i$个数，把第$i$个数改为$b_j$的最小花费。
• 容易推出状态转移方程为$dp[i-1][j]$的最小花费加上这次要改动的花费，即：

$$dp[i][j]=min(dp[i-1][k])+|a_i-a_j|,(a_k\le a_j)$$

• 因为要寻找合适的k，这显然是一个$O(n^3)$的算法，因此需要进一步优化。
  • 考虑到转移过程中花费值与k无关，因此可以在更新$dp[i][j]$的同时保存$min(dp[i-1][k])$,于是我们可以引入一个变量$premin$表示上一行j,$[1,j]$范围内的最小值。
  • 但如果这样的话，我们无法保证$(a_k\le a_j)$的成立。考虑到改变到什么值备选方案的顺序无关，因此只要在之前把备选值$sort$，就可以保证在$[1,j]$中的备选值都是符合要求的，即$premin$符合要求
  • 综上，我们优化出了一个$O(n^2)$的算法。
• 对于单调不增序列，把备选数组翻转一遍，再求一次即可。

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对于核心代码步骤简述：

for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		int pre_min=inf;
		for(int j=1;j<=len;j++)
		{
			pre_min=min(pre_min,dp[i-1][j]);
			dp[i][j] = pre_min + abs(a[i]-b[j]);
		}
	}

1. 初始化$premin$
2. 更新$premin$，此时它表示[1,1]中$dp[i-1]$中的最小值，由于已经排序，可以保证修改后的$a_i$一定大于等于$a_{i-1}$，从而保证答案正确性。
3. 更新$dp[i][j]$
4. 再次更新$premin$，此时它的管辖区间就是$[1,2]$了，刚好可以用来更新$dp[i][2]$的值
5. 重复上述步骤，$min(dp[n])$就是答案。

AC代码

时间复杂度：$O(n{}^2)$

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<string>
#include<cstring>
#include<vector>
#include<queue>
#include<set>
#include<map>
#include<fstream>
#define inf 0x3f3f3f3f
#define linf 0x3f3f3f3f3f3f3f3f
#define ll long long
#define ull unsigned long long
#define endl '\n'
//#define int long long
using namespace std;
typedef pair<int,int> PII;
const int N =10 + 2e3, mod = 1e9 + 7;
int n,len;
ll dp[N][N];// 考虑前i，第i改成j的最小花费
int a[N],b[N];
ll solve()
{   
	memset(dp,0,sizeof dp); 
	
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		ll pre_min=linf;
		for(int j=1;j<=len;j++)
		{
			pre_min=min(pre_min,dp[i-1][j]);
			dp[i][j] = pre_min + abs(a[i]-b[j]);
		}
	}
	// cout << *min_element(dp[n]+1,dp[n]+1+len) << endl;
	return *min_element(dp[n]+1,dp[n]+1+len);
}
signed main()
{
	ios::sync_with_stdio();cin.tie();cout.tie();
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",a+i), b[i] = a[i];
	sort(b+1,b+1+n);
	len = unique(b+1,b+1+n)-b-1;
	ll res=solve();
	reverse(b+1,b+1+n);
	res=min(res,solve());
	printf("%d\n",res);
	return 0;
}

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据说本题数据很水，根本不用考虑单调不增的情况···
绝了。