矩阵链乘法（算法导论课后习题，动态规划）_15.2-1 对矩阵规模序列<5, 10, 3, 12, 5, 50, 6>,求矩阵链最优括号化方案-优快云博客

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15.2-1 对矩阵规模序列 $\langle 5, 10, 3, 12, 5, 50, 6 \rangle$ ，求矩阵链最优括号化方案。

矩阵规模序列 $\langle 5, 10, 3, 12, 5, 50, 6 \rangle$ 对应 == A1(5*10)、A2(10*3)、A3(3*12)、A4(12*5)、A5(5*50)、A6(50*6)== 这样的 6 个矩阵连续相乘，求对应的矩阵链最优括号化方案。

MATRIX-CHAIN-ORDER(p)
    n = p.length - 1	// 矩阵规模序列长度减一，也就是实际连乘的矩阵数量
    let m[1..n,1..n] and s[1..n-1,2..n] be new tables
    for i = 1 to n
        m[i,i] = 0	// 单个矩阵不需要乘法运算，标量乘法次数为0
    for l = 2 to n          // l是子链长度
        for i = 1 to n-l+1	// i是子链在原始矩阵链中的起点
            j = i + l - 1	// j是根据子链长度l和子链起点i确定的子链终点
            m[i,j] = ∞
            for k = i to j-1
                q = m[i,k] + m[k+1,j] + p[i-1]*p[k]*p[j]
                if q < m[i,j]
                    m[i,j] = q	// 存储子问题的解，也就是具体的标量乘法次数
                    s[i,j] = k	// 存储具体括号方案，也就是括号具体位置
    return m and s

上述伪代码的 C++实现：

#include <iostream>
#include <vector>
#include <climits>

using namespace std;

// 辅助函数：打印最优括号方案
void PrintOptimalParens(const vector<vector<int>>& s, int i, int j) {
    if (i == j) {
        cout << "A" << i;
    }
    else {
        cout << "(";
        PrintOptimalParens(s, i, s[i][j]);
        PrintOptimalParens(s, s[i][j] + 1, j);
        cout << ")";
    }
}

// 矩阵链乘法最优解算法
void MatrixChainOrder(const vector<int>& p) {
    int n = p.size() - 1;  // 矩阵数量

    // 创建动态规划数组
    vector<vector<int>> m(n + 1, vector<int>(n + 1, 0));
    vector<vector<int>> s(n + 1, vector<int>(n + 1, 0));

    // 子链长度从2开始，最大到n
    for (int l = 2; l <= n; l++) {
        // 遍历所有可能的子链起点
        for (int i = 1; i <= n - l + 1; i++) {
            int j = i + l - 1;  // 子链终点
            m[i][j] = INT_MAX;  // 初始化为最大值

            // 尝试所有可能的分割点k
            for (int k = i; k < j; k++) {
                int q = m[i][k] + m[k + 1][j] + p[i - 1] * p[k] * p[j];
                if (q < m[i][j]) {
                    m[i][j] = q;     // 更新最小代价
                    s[i][j] = k;     // 记录最优分割点
                }
            }
        }
    }

    // 打印最小代价
    cout << "最小标量乘法次数: " << m[1][n] << endl;

    // 打印最优括号方案
    cout << "最优括号方案: ";
    PrintOptimalParens(s, 1, n);
    cout << endl;
}

int main() {
    // 给定的矩阵维度序列：5, 10, 3, 12, 5, 50, 6
    vector<int> p = { 5, 10, 3, 12, 5, 50, 6 };

    MatrixChainOrder(p);

    return 0;
}

当子链长度为：2时：
m[1,2]:
  k取1时:
    q = m[1,1] + m[2,2] + p[0]p[1]p[2]
    q = 0 + 0 + 150 = 150
    更新: m[1,2] = 150

m[2,3]:
  k取2时:
    q = m[2,2] + m[3,3] + p[1]p[2]p[3]
    q = 0 + 0 + 360 = 360
    更新: m[2,3] = 360

m[3,4]:
  k取3时:
    q = m[3,3] + m[4,4] + p[2]p[3]p[4]
    q = 0 + 0 + 180 = 180
    更新: m[3,4] = 180

m[4,5]:
  k取4时:
    q = m[4,4] + m[5,5] + p[3]p[4]p[5]
    q = 0 + 0 + 3000 = 3000
    更新: m[4,5] = 3000

m[5,6]:
  k取5时:
    q = m[5,5] + m[6,6] + p[4]p[5]p[6]
    q = 0 + 0 + 1500 = 1500
    更新: m[5,6] = 1500

-------------------------------------------
当子链长度为：3时：
m[1,3]:
  k取1时:
    q = m[1,1] + m[2,3] + p[0]p[1]p[3]
    q = 0 + 360 + 600 = 960
    更新: m[1,3] = 960
  k取2时:
    q = m[1,2] + m[3,3] + p[0]p[2]p[3]
    q = 150 + 0 + 180 = 330
    更新: m[1,3] = 330

m[2,4]:
  k取2时:
    q = m[2,2] + m[3,4] + p[1]p[2]p[4]
    q = 0 + 180 + 150 = 330
    更新: m[2,4] = 330
  k取3时:
    q = m[2,3] + m[4,4] + p[1]p[3]p[4]
    q = 360 + 0 + 600 = 960

m[3,5]:
  k取3时:
    q = m[3,3] + m[4,5] + p[2]p[3]p[5]
    q = 0 + 3000 + 1800 = 4800
    更新: m[3,5] = 4800
  k取4时:
    q = m[3,4] + m[5,5] + p[2]p[4]p[5]
    q = 180 + 0 + 750 = 930
    更新: m[3,5] = 930

m[4,6]:
  k取4时:
    q = m[4,4] + m[5,6] + p[3]p[4]p[6]
    q = 0 + 1500 + 360 = 1860
    更新: m[4,6] = 1860
  k取5时:
    q = m[4,5] + m[6,6] + p[3]p[5]p[6]
    q = 3000 + 0 + 3600 = 6600

-------------------------------------------
当子链长度为：4时：
m[1,4]:
  k取1时:
    q = m[1,1] + m[2,4] + p[0]p[1]p[4]
    q = 0 + 330 + 250 = 580
    更新: m[1,4] = 580
  k取2时:
    q = m[1,2] + m[3,4] + p[0]p[2]p[4]
    q = 150 + 180 + 75 = 405
    更新: m[1,4] = 405
  k取3时:
    q = m[1,3] + m[4,4] + p[0]p[3]p[4]
    q = 330 + 0 + 300 = 630

m[2,5]:
  k取2时:
    q = m[2,2] + m[3,5] + p[1]p[2]p[5]
    q = 0 + 930 + 1500 = 2430
    更新: m[2,5] = 2430
  k取3时:
    q = m[2,3] + m[4,5] + p[1]p[3]p[5]
    q = 360 + 3000 + 6000 = 9360
  k取4时:
    q = m[2,4] + m[5,5] + p[1]p[4]p[5]
    q = 330 + 0 + 2500 = 2830

m[3,6]:
  k取3时:
    q = m[3,3] + m[4,6] + p[2]p[3]p[6]
    q = 0 + 1860 + 216 = 2076
    更新: m[3,6] = 2076
  k取4时:
    q = m[3,4] + m[5,6] + p[2]p[4]p[6]
    q = 180 + 1500 + 90 = 1770
    更新: m[3,6] = 1770
  k取5时:
    q = m[3,5] + m[6,6] + p[2]p[5]p[6]
    q = 930 + 0 + 900 = 1830

-------------------------------------------
当子链长度为：5时：
m[1,5]:
  k取1时:
    q = m[1,1] + m[2,5] + p[0]p[1]p[5]
    q = 0 + 2430 + 2500 = 4930
    更新: m[1,5] = 4930
  k取2时:
    q = m[1,2] + m[3,5] + p[0]p[2]p[5]
    q = 150 + 930 + 750 = 1830
    更新: m[1,5] = 1830
  k取3时:
    q = m[1,3] + m[4,5] + p[0]p[3]p[5]
    q = 330 + 3000 + 3000 = 6330
  k取4时:
    q = m[1,4] + m[5,5] + p[0]p[4]p[5]
    q = 405 + 0 + 1250 = 1655
    更新: m[1,5] = 1655

m[2,6]:
  k取2时:
    q = m[2,2] + m[3,6] + p[1]p[2]p[6]
    q = 0 + 1770 + 180 = 1950
    更新: m[2,6] = 1950
  k取3时:
    q = m[2,3] + m[4,6] + p[1]p[3]p[6]
    q = 360 + 1860 + 720 = 2940
  k取4时:
    q = m[2,4] + m[5,6] + p[1]p[4]p[6]
    q = 330 + 1500 + 300 = 2130
  k取5时:
    q = m[2,5] + m[6,6] + p[1]p[5]p[6]
    q = 2430 + 0 + 3000 = 5430

-------------------------------------------
当子链长度为：6时：
m[1,6]:
  k取1时:
    q = m[1,1] + m[2,6] + p[0]p[1]p[6]
    q = 0 + 1950 + 300 = 2250
    更新: m[1,6] = 2250
  k取2时:
    q = m[1,2] + m[3,6] + p[0]p[2]p[6]
    q = 150 + 1770 + 90 = 2010
    更新: m[1,6] = 2010
  k取3时:
    q = m[1,3] + m[4,6] + p[0]p[3]p[6]
    q = 330 + 1860 + 360 = 2550
  k取4时:
    q = m[1,4] + m[5,6] + p[0]p[4]p[6]
    q = 405 + 1500 + 150 = 2055
  k取5时:
    q = m[1,5] + m[6,6] + p[0]p[5]p[6]
    q = 1655 + 0 + 1500 = 3155

-------------------------------------------
最小标量乘法次数: 2010
最优括号方案: ((A1A2)((A3A4)(A5A6)))

根据 P213 的伪代码，先遍历子链长度为 2 的情况，m [1,2], 此时可能的括号方案 k 只能取 1，q = p [0]*p [1]*p [2] = 150 < m [1,2] = $\infty$ ，所以 m [1,2] = 150; 依此类推，m [2,3] = 360、m [3,4] = 180、m [4,5] = 3000、m [5,6] = 1500，两个矩阵相乘，不存在更优括号方案，就是直接相乘的运算量；再遍历子链长度为 3 的情况，m [1,3]，此时可能的括号方案 k 可能取 1 或 2，k 取 1 时，q = m [1,1]+m [2,3]+p [0] p [1] p [3] = 960 < m [1,3] = $\infty$ ，所以 m [1,3] = 960；k 取 2 时，q = m [1,2]+m [3,3]+p [0] p [2] p [3] = 330 < m [1,3] = 960，所以 m [1,3] = 330；依此类推，对 m [2,4]、m [3,5]、m [4,6] 依次取 k = 1、k = 2（遍历当前子链长度下的所有可能括号方案），然后存储更优的标量乘法次数 m [i, j] 和具体括号方案 s [i, j].

m [2,4]，k 取 2 时，q = m [2,2]+m [3,4]+p [1] p [2] p [4] = 330 <m[2,4]= $\infty$ ，所以m[2,4]=330；k取3时，q=m[2,3]+m[4,4]+p[1]p[3]p[4]=960> m [2,4] = 330，所以 m [2,4] = 330；

m [3,5]，k 取 3 时，q = m [3,3]+m [4,5]+p [2] p [3] p [5] = 4800 < m [3,5] = $\infty$ ，所以 m [3,5] = 4800；k 取 4 时，q = m [3,4]+m [5,5]+p [2] p [4] p [5] = 930 < 4800，所以 m [3,5] = 930；

m [4,6]，k 取 4 时，q = m [4,4]+m [5,6]+p [3] p [4] p [6] = 1860 <m[4,6]= $\infty$ ，所以m[4,6]=1860；k取5时，q=m[4,5]+m[6,6]+p[3]p[5]p[6]=6600> 1860，所以 m [4,6] = 1860；

再遍历子链长度为 4 的情况

m [1,4]，k 取 1 时，q = m [1,1]+m [2,4]+p [0] p [1] p [4] = 580 <m[1,4]= $\infty$ ，所以m[1,4]=580；k取2时，q=m[1,2]+m[3,4]+p[0]p[2]p[4]=405<580，所以m[1,4]=405；k取3时，q=m[1,3]+m[4,4]+p[0]p[3]p[4]=630> 405，所以 m [1,4] = 405;

m [2,5]，k 取 2 时，q = m [2,2]+m [3,5]+p [1] p [2] p [5] = 1770 <m[2,5]= $\infty$ ，所以m[2,5]=1770；k取3时，q=m[2,3]+m[4,5]+p[1]p[3]p[5]=9360> 1770，所以 m [2,5] = 1770；k 取 4 时，q = m [2,4]+m [5,5]+p [1] p [4] p [5] = 2830 > 1770，所以 m [2,5] = 1770;

m [3,6]，k 取 3 时，q = m [3,3]+m [4,6]+p [2] p [3] p [6] = 2076 <m[3,6]= $\infty$ ，所以m[3,6]=2076；k取4时，q=m[3,4]+m[5,6]+p[2]p[4]p[6]=1770<2076，所以m[3,6]=1770；k取5时，q=m[3,5]+m[6,6]+p[2]p[5]p[6]=1830> 1770，所以 m [3,6] = 1770;

再遍历子链长度为 5 的情况

m [1,5]，k 取 1 时，q = m [1,1]+m [2,5]+p [0] p [1] p [5] = 4930 <m[1,5]= $\infty$ ，所以m[1,5]=4930；k取2时，q=m[1,2]+m[3,5]+p[0]p[2]p[5]=1830<4930，所以m[1,5]=1830；k取3时，q=m[1,3]+m[4,5]+p[0]p[3]p[5]=6330> 1830；所以 m [1,5] = 1830；k 取 4 时，q = m [1,4]+m [5,5]+p [0] p [4] p [5] = 1655 < 1830，所以 m [1,5] = 1655；

m [2,6]，k 取 2 时，q = m [2,2]+m [3,6]+p [1] p [2] p [6] = 1950 <m[2,6]= $\infty$ ，所以m[2,6]=1950；k取3时，q=m[2,3]+m[4,6]+p[1]p[3]p[6]=2940> 1950，所以 m [2,6] = 1950；k 取 4 时，q = m [2,4]+m [5,6]+p [1] p [4] p [6] = 2130 > 1950；所以 m [2,6] = 1950；k 取 5 时，q = m [2,5]+m [6,6]+p [1] p [5] p [6] = 5430 > 1950，所以 m [2,6] = 1950；

再遍历子链长度为 6 的情况

m [1,6]，k 取 1 时，q = m [1,1]+m [2,6]+p [0] p [1] p [6] = 2250 <m[1,6]= $\infty$ ，所以m[1,6]=2250；k取2时，q=m[1,2]+m[3,6]+p[0]p[2]p[6]=2010<2250，所以m[1,6]=2010；k取3时，q=m[1,3]+m[4,6]+p[0]p[3]p[6]=2550> 2010，所以 m [1,6] = 2010；k 取 4 时，q = m [1,4]+m [5,6]+p [0] p [4] p [6] = 2055 > 2010，所以 m [1,6] = 2010；k 取 5 时，q = m [1,5]+m [6,6]+p [0] p [5] p [6] = 3155 > 2010，所以 m [1,6] = 2010；

5	10	3	12	5	50	6
0	1	2	3	4	5	6

子链长度 l	子问题的解 m [i, j]	k 的可能取值	s [i, j] = k 取值	m [i, j] 对应取值
2	m [1,2]	1	1	150
	m [2,3]	2	1	360
	m [3,4]	3	1	180
	m [4,5]	4	1	3000
	m [5,6]	5	1	1500
3	m [1,3]	1，2	1	960
			2	330
	m [2,4]	2，3	2	330
			3	960
	m [3,5]	3,4	3	4800
			4	930
	m [4,6]	4,5	4	1860
			5	6600
4	m [1,4]	1,2,3	1	580
			2	405
			3	630
	m [2,5]	2,3,4	2	2430
			3	9360
			4	2830
	m [3,6]	3,4,5	3	2076
			4	1770
			5	1830
5	m [1,5]	1,2,3,4	1	4930
			2	1830
			3	6330
			4	1655
	m [2,6]	2,3,4,5	2	1950
			3	2940
			4	2130
			5	5430
6	m [1,6]	1,2,3,4,5	1	2250
			2	2010
			3	2550
			4	2055
			5	3155