利用分治法--求快速幂取余运算（洛谷P1226）_给你三个整数 b,p,k,求b^p%k的结果。-优快云博客

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本文探讨了如何利用快速幂算法解决模幂运算的问题，尤其是在大整数范围内的计算。首先介绍了常规快速幂算法的实现，然后针对给定的数据范围，提出在每次幂运算过程中加入取余操作的优化策略，从而避免了计算过程中的溢出。通过实例展示了优化后的算法如何正确计算并得到预期结果，最后提供了通过所有测试用例的代码实现。

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P1226 【模板】快速幂||取余运算

题目描述
给你三个整数 b,p,k，求 b^p mod k

输入格式
输入只有一行三个整数，分别代表 b,p,k

输出格式
输出一行一个字符串 b^p mod k=s，其中 b, p, k 分别为题目给定的值， s 为运算结果。

输入

2 10 9

输出

2^10 mod 9=7

说明/提示
2^10 = 10242 1024 mod 9=7
数据规模与约定
对于 100%100% 的数据，保证 0 <= b,p < 2^31, 1 < k < 2 ^31；

题目链接
【模板】快速幂||取余运算 - 洛谷

题解

刚开始看到这题的时候就想着用快速幂算法，先求b^p，然后mod 9，但是突然看到b，p的范围之后，感觉有点不现实了，

快速幂算法代码

typedef long long ll;
int myPow(ll b, ll p) {
	ll a = p;
	ll c = 1;
	while (a > 0)
	{
		if (a & 1 == 1)
		{
			c *= b;
		}
		b *= b;
		a /= 2;
	}
	return c;
}

#include <iostream>
using namespace std;
typedef long long ll;
ll b, p, k;
int divi(ll b, ll p)
{
    if (p == 0)
        return 1;
    ll t = divi(b, p / 2) % k;
    if (p & 1 == 1)
        return t * t * b % k;
    else
        return t * t % k;
}
int main()
{
    cin >> b >> p >> k;
    // 2^10 mod 9=7
    cout << b << "^" << p << " mod " << k << "=" << divi(b, p);
    return 0;
}//这里不知道为什么在洛谷上有一个数据过不了

正解

这个解法其实是根据同余定理来解题，什么是同余定理？这里我们不需要知道原理是什么，我们不是数学专业的，只需要知道怎么使用就可以了。

(a*b*c*......)%k

=((a%k)*(b%k)*(c%k)*......)%k

看到这个代码，我们很快会联想到我上面的快速幂算法，就是加上%k

#include <iostream>
using namespace std;
typedef long long ll;
ll b, p, k;
int myPow(ll b, int p) {
	ll a = p;
	ll c = 1;
	while (a > 0) {
		if (a & 1 == 1) {
			c *= b;
			c %= k;//取余
		}
		b *= b;
		b %= k;//取余
		a /= 2;
	}
	return c;
}
int main()
{
	cin >> b >> p >> k;
	cout << b << "^" << p << " mod " << k << "=" << myPow(b, p);
	return 0;
}