算法竞赛进阶指南打卡系列 0x00 9.奇怪的汉诺塔

算法竞赛进阶指南打卡系列题解

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题目

原题链接

AcWing 96. 奇怪的汉诺塔

题面

汉诺塔问题，条件如下：

1、这里有 $A$、$B$、$C$ 和 $D$ 四座塔。

2、这里有 $n$ 个圆盘，$n$ 的数量是恒定的。

3、每个圆盘的尺寸都不相同。

4、所有的圆盘在开始时都堆叠在塔 $A$ 上，且圆盘尺寸从塔顶到塔底逐渐增大。

5、我们需要将所有的圆盘都从塔 $A$ 转移到塔 $D$ 上。

6、每次可以移动一个圆盘，当塔为空塔或者塔顶圆盘尺寸大于被移动圆盘时，可将圆盘移至这座塔上。

请你求出将所有圆盘从塔 $A$ 移动到塔 $D$，所需的最小移动次数是多少。

汉诺塔塔参考模型

输入格式
没有输入

输出格式
对于每一个整数 $n$，输出一个满足条件的最小移动次数，每个结果占一行。

数据范围
$1\le n\le 12$

输入样例：
没有输入

输出样例：
参考输出格式

题解

思路

这竟然是个DP题。

首先考虑三柱经典汉诺塔问题，我们不妨使用 $d[n]$ 表示求解 $n$ 盘三柱汉诺塔问题所需要的最小步数，那么 $d[n]=2\times d[n-1]+1$ ，即：
先把 $n-1$ 个盘从 $A$ 柱移动到 $B$ 柱需要 $d[n-1]$ 步，
再把最后一个盘从 $A$ 柱移动到 $C$ 柱需要 $1$ 步，
最后把 $B$ 柱上的 $n-1$ 个盘从 $B$ 柱移动到 $C$ 柱需要 $d[n-1]$ 步。
共需 $d[n]=2\times d[n-1]+1$ 步。

由此扩展到四柱汉诺塔问题为 $f[n]=min(2\times f[i]+d[n-i])$ 。
初始化：$f[1]=1$ 表示一个盘子在四塔模式下移动到 $D$ 需要 $1$ 步。
我们可以先把i个盘子在四塔模式下移动到 $B$ 柱需要 $f[i]$ 步。
然后把 $n-i$ 个盘子在三塔模式下移动到 $D$ 柱（由于不能到 $B$ 上，因此等同于三柱）需要 $d[n-i]$ 步。
最后把剩下的 $i$ 个盘子在四塔模式下移动到 $D$ 柱上需要 $f[i]$ 步。
共需 $f[n]=min(2\times f[i]+d[n-i])$ 步。

综上所述，我们预处理出 $d$ 然后枚举 $i$ 求 $f$ 即可。

神奇的思路，没做过感觉根本想不到。

代码

#include <bits/stdc++.h>

// #define int long long

using namespace std;

constexpr int P = 998244353;
using i64 = long long;

signed main()
{
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr);

    vector<int> d(13);
    for (int n = 1; n <= 12; n ++ ) d[n] = 2 * d[n - 1] + 1;
	
	// 由于 f 要取 min ，因此初始化为无穷大 1e9
    vector<int> f(13, 1e9);
    // 因为全部初始化为 1e9 ，因此此处初始化很重要
    f[1] = 1; 
    for (int n = 2; n <= 12; n ++ ) {
        for (int i = 0; i <= n; i ++ ) {
            f[n] = min(f[n], 2 * f[i] + d[n - i]);
        }
    }

    for (int n = 1; n <= 12; n ++ ) cout << f[n] << " ";

    return 0;
}