Matlab实现求解乘法逆元实验

一.实验目的

熟悉求解乘法逆元的算法。在此基础上，选择一种算法，通过运用高级程序设计语言,设计并实现一个计算乘法逆元运算器。

二.实验原理

【定义】对于整数a，m，如果存在整数b，满足ab mod m =1，则称b为a模m的乘法逆元，记为a-1。

【定理】a存在模m的乘法逆元的充要条件是a和m的最大公约数为1，记为gcd(a,m)=1。

由定理可知，当a与m互素时,a模m的乘法逆元有唯一解。如果a与m不互素，则a模m 的乘法逆元a不存在。显然，如果a为素数，则1~a-1的任意整数都与a互素，即1～a-1的任意整数都有模m的乘法逆元存在。

扩展欧几里得（Extended Euclid）算法是求解乘法逆元的常用方法。欧几里得（Euclid)算法用于计算两个整数的最大公约数，其原理是反复利用带余除法，直至余数为0时为止。两个整数的最大公约数可以用这两个整数的整系数线性组合的方式表示，扩展欧几里得算法就是计算整数线性组合当中的系数，即计算gcd (a, m)- sNa+lNm中的整数sN

lN。扩展欧几里得算法除了可用于求解两个整数的最大公约数外，还可以用于求解乘法逆元a-1。

三.实验步骤