Lecture 13-2-优快云博客

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本文详细介绍了二叉搜索树（BST）的概念，包括其定义、功能以及与堆的对比。讨论了BST的基本操作，如查找、插入和删除，并提供了相应的C++实现。此外，还探讨了保持BST平衡的重要性以及几种平衡策略，如AVL树。文章最后指出，所有操作的时间复杂度取决于树的平均深度，强调了维持树平衡的必要性。

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绪论

介绍完堆，哈夫曼编码之后，BST它来咯hhhh。

(我以为他会开一个单章而不是作为Lecture 13的后半部分介绍的，毕竟比起哈夫曼树，我觉得BST和堆的联系还稍微大一点)。

Definition

之前在介绍堆的时候，有提到过堆对标的是BST。堆的定义是对于所有的分支节点，子节点的值大于根结点的值(为了说明方便这里用数值来代替优先级)，BST的定义是对于所有的分支节点，左子树上节点的值小于根结点的值小于右子树上节点的值。

默认BST中不包含值相同的元素。

从定义上来看，BST左右子树上节点与父节点的关系比堆结构左右子节点与父节点的关系更加复杂。

功能上来看，堆能够实现的功能是始终能够访问和删除优先级最高的结点以及添加结点，BST能够实现的功能更加灵活和复杂，可以访问和删除任意优先级的结点，访问的索引可以是优先级对应的数值，可以是优先级，BST结构中的元素始终保持两两之间有序。

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例子如下：

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Implementation

在定义中提到，BST结构中的元素始终保持两两之间有序，元素集合从某种角度可以看作一个有序的序列，对于一个有序的需要实现地操作就是“增删改查”。

增和删作为修改的两个部分，一般只有细微的区别需要进行调整，大多步骤都是对称的。

改直接修改一个结点对应的值，相当于在那个位置删除了原本的结点，然后添加了一个新的结点，改实际和增删是一样的，我个人一般将这三个操作都看作对整体结构的修改。

查是基本操作中最为重要的，因为查询是所有操作的前提，修改等操作都需要首先通过查询来确切进行操作的位置，所以基本操作这里我们首先从查询开始介绍。

类模板如下：

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Inherited Member Functions

对叶子种类的判断，size和height的属性的求解，返回结点的值，返回左(右)子结点指针都是基于一般二叉树原本就存在的操作。BST不改变这些操作的本质，直接继承即可。

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reinterpret_cast是强制转化类型的意思，返回子节点指针在继承的基础上需要将返回的二叉树类型指针强制转换成返回BST类指针。

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Find()

查询分为按照优先级和按照具体值的两种查询：按照优先级查询，就是需要你查询出优先级第k高的结点；按照具体值查询，就是需要你查询出值为给定值的结点。Find()是按具体值查询。

我们知道BST左子树上结点的值小于根结点的值小于右子树上结点的值，按值查询的过程根据BST的结构会分成三种情况——当前根结点的值等于查询的值，当前根结点的值小于查询的值，当前根结点的值大于查询的值。

如果是等于的话，查找成功，直接返回该节点的指针即可。如果小于，说明需要查询的结点，如果存在则出现在左子树上，递归到查询左子树，大于同理。

每次递归可能从当前结点进入到下一层的子节点，时间复杂度为BST的高度。

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Finding the k^th Object

Finding the k^th Object指的就是按照优先级进行查找，k是优先级。课件上将两种查询方式分割开，认定按照优先级查找是基本操作之外“另外相关的操作”，我个人不是认为两种查询是只是基于BST的不同定义，实质是一样的：

在BST中进行按值查询基于的是BST的最基本定义，BST最基本的定义是左子树上结点的值小于根结点的值小于右子树上结点的值，按值查询根据定义每次分割成在左子树上按值查询和右子树上按值查询。

在BST中进行按优先级的查询基于的是BST功能方面的定义，BST结构的功能是将结构中的所有元素构成有序的情况，假设左子树的结点个数有a个，右子树的结点个数有b个。那么左子树存储的是优先级为1~a的元素，右子树存储的是优先级为a+2~a+b+1的元素，左子树存储的结点和右子树存储的结点都是有序的。

我们在a+b+1个元素中查询第k个元素，根据左子树和右子树的size确定出需要查询的结点在左子树，右子树，根还是不存在，递归的过程和按值查询是一样的(根据优先级查询左子树，右子树还是根)。

两种查询实质都是根据具体值，优先级(子树结点个数)进行的一种二分查找，只是往往认为size是BST(二叉树)结构确定之后才能计算得到的属性(我个人认为从逻辑上两者是没有先后的)。

事实上从优先级的定义来想，考虑到优先级对应的值和优先级存在一一对应的映射，两种查找是完全一样的(我的语文学习的不好hhhh，意会就好)。

代码如下：

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Front()，Back()

front()，back()，还有next()，previous()，都是查找功能中比较常见的几种特殊情况。用按值查找和按优先级查找也能处理(next()，previous()有限定条件hhhh，所以不多做介绍)，不过不如单独拿出来分析的效率高。

front和back分别代表查询优先级最高和最低的结点，也就是at(1)和at(n)。但是根据BST的定义我们可以知道：值最小的结点一定不存在左子节点和来自左边的父节点，值最大的结点一定不存在右子节点和来自右边的父节点。也就是说，优先级最高和最低的结点，左边和右边没有别的结点，分别为从根结点开始向左和向右能够到达的最左和最右的结点。

front()：

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