Codeforces Round #837 (Div. 2) D. Hossam and (sub-)palindromic tree（区间DP+LCA)

 input:

2
5
abaca
1 2
1 3
3 4
4 5
9
caabadedb
1 2
2 3
2 4
1 5
5 6
5 7
5 8
8 9

output:

3
5

题目大意：给定一棵 n 个节点的树，每个结点上有一个小写字母。定义 s(i,j) 表示将 i→j 路径上结点的字符顺次相接形成的字符串，求所有 s(i,j)的最长回文子序列长度的最大值。

解题思路：首先我们要先直到，如果给定了一个字符串，让我们求它的最大回文子序列应该怎么求。这里应该是采用区间DP的方法。具体如下：

对于dp[x][y]，表示下标从x开始，到y结束的这一段序列的最长回文子序列的长度：

        如果s[x]==s[y],dp[x][y]=dp[x+1][y-1]+2

        否则dp[x][y]=max(dp[x+1][y],dp[x][y-1])

   现在这个题就是把问题放在了一颗树上，那么我们的思路应该是枚举字符串的左右端点，然后利用LCA的思想找到最近公共祖先，这样整个字符串就已经找到了，然后对于这一段在树上的字符串进行DP，具体细节见代码。

上代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=2e3+10;
char s[N];
vector<int>edge[N];
int fa[15][N],dp[N][N],dep[N],rt,f[N];
int n;
void dfs(int u)
{
	fa[0][u]=f[u];
	dep[u]=dep[f[u]]+1;
	for(int i=1;i<12;i++)
	fa[i][u]=fa[i-1][fa[i-1][u]];
	for(int v:edge[u])
	if(v!=f[u])
	{
		f[v]=u;
		dfs(v);
	}
}
int lca(int x,int y)
{
	if(dep[x]<dep[y])
	swap(x,y);
	int dif=dep[x]-dep[y];
	for(int i=11;i>=0;i--)
	if(dif&(1<<i))
	x=fa[i][x];
	if(x==y)
	return x;
	for(int i=11;i>=0;i--)
	if(fa[i][x]!=fa[i][y])
	x=fa[i][x],y=fa[i][y];
	return f[x];
}
int cal(int x,int y,int ancestor)
{
	if(dp[x][y])//记忆化搜索 
	return dp[x][y];
	if(ancestor==x||ancestor==y)//x,y其中一个为它们的最近公共祖先，此时这条链为一条从上到下，没有弯曲的一条链 
	{
		if(dep[x]<dep[y])
		swap(x,y);
		int dif=dep[x]-dep[y]-1,temp=x;
		if(dif==0)//字符x,y正好构成一个长度为2字符串需要特判 
		{
			dp[x][y]=1;
			if(s[x]==s[y])
			dp[x][y]++;
		}
		else
		{
			for(int i=0;i<12;i++)
			if(dif&(1<<i))
			temp=fa[i][temp];//temp表示的是在x,y这条链上，最近公共祖先的一个子节点 
			dp[x][y]=max(cal(x,temp,temp),max(cal(f[x],y,y),cal(f[x],temp,temp)+2*(s[x]==s[y])));//区间DP3中情况取最大值 
		}
		return dp[x][y];
		
	}
	if(y!=ancestor)
	dp[x][y]=max(dp[x][y],cal(f[y],x,ancestor));//dp[x][y]=max(dp[x][y],dp[x][y-1]) 
	if(x!=ancestor)
	dp[x][y]=max(dp[x][y],cal(y,f[x],ancestor)) ;//dp[x][y]=max(dp[x][y],dp[x+1][y])
	if(x!=ancestor&&y!=ancestor)
	dp[x][y]=max(dp[x][y],cal(f[x],f[y],ancestor)+2*(s[x]==s[y]));//dp[x][y]=max(dp[x][y],dp[x+1][y-1]+2) 
	return dp[x][y];
}
int main()
{
	int t;
	cin>>t;
	while(t--)
	{
		cin>>n;
		scanf("%s",s+1);
		//初始化 
		for(int i=1;i<=n;i++)
		{
			edge[i].clear();
			for(int j=1;j<=n;j++)
			dp[i][j]=0;
			dp[i][i]=1;
		}
		for(int i=1;i<n;i++)
		{
			int x,y;
			cin>>x>>y;
			edge[x].push_back(y);
			edge[y].push_back(x);	
		}	
		if(n==2)
		{
			if(s[1]==s[2])
			cout<<"2"<<endl;
			else
			cout<<"1"<<endl;
//			continue;
		}
		else
		{
			for(int i=1;i<=n;i++)
			if(edge[i].size())
			rt=i; 
			f[rt]=0;
			dfs(rt);
			int ans=1;
			for(int i=1;i<=n;i++)
				for(int j=i+1;j<=n;j++)
			    ans=max(ans,cal(i,j,lca(i,j)));
			cout<<ans<<endl;
		}
		
	}
	return 0;
}