质数的判定

定义

质数又称素数。一个大于1的自然数，除了1和它自身外，不能被其他自然数整除的数叫做质数；否则称为合数（规定1既不是质数也不是合数）。

问题

给定一个数字n，我们如何判断这个数字是不是素数?

思路

我们已经知道了素数的定义，那么我们只需要从2到n - 1依次枚举所有的数字，看看能否被n整除，如果能够被n整除，那么就说明不是质数，否则说明是质数。

解题代码

#include <stdio.h>
int main()
{
	int n, sign = 0;
	scanf("%d",&n);
	for(int i = 2; i < n; ++i)
	{
		if(n < 2 || n % i == 0)
		{
			sign = 1;
			break;
		}
	}
	if (1 == sign)
	{
		printf("不是素数\n");	
	}
	else
	{
		printf("是素数\n");
	}
	return 0;
}

这里的flag用于起标记的作用，标记是否为素数。

思考

可以发现时间复杂度是0(n)。那么我们如何优化一下?

假设一个数字$n$,它的因子是$x$，那么另外一个因子是$\frac{n}{x}$，那么两个因子一定存在一个大小关系，我们假设是 $x\le$ $\frac{n}{x}$ ，那么我们可以得到$x\le$ $\sqrt{n}$ 。
注意:这里会有人这么做$：$那我假设$\frac{n}{x}$$\le x$，那么我得到$x\ge$$\sqrt{n}$，那该怎么继续向下分析呢?
得到这个结果不假，是真的。意味着这样做的话，得到的$x$范围是
$x\ge$$\sqrt{n}$，那么说明$x$的范围是$x>=$$\sqrt{n}$并且$x\le$$n$。既然这样的话，那么另外一个因子$\frac{n}{x}$的范围就是$\frac{n}{x}$ $\le$$\sqrt{n}$。
经过这样的分析，我们可以发现，一个数$n$的因子一定是有一个在小于$\sqrt{n}$的范围内，一个一定是在$≥$$\sqrt{n}$的范围内。
那么既然分析到这里，我们可以这样做:

只枚举小于等于$\sqrt{n}$的范围内的数字，因为将这个范围内的数字枚举一遍的话，也就等效地将$\sqrt{n}$到n这个范围内地数字给判断了一边。比如说我们发现$\sqrt{n}$之前的所有数字都没有被整除，那么也就说明$\sqrt{n}$到n之间的数字也不会被整除，因为如果要是$\sqrt{n}$范围之前有的数字被整除掉的话，那么也就意味着一定有$\sqrt{n}$到n之间有另外一个因子和它对应。如果$\sqrt{n}$到n之间有数字被整除，那么也就意味着$\sqrt{n}$之前有另外一个因子和它对应。这里发现$\sqrt{n}$之前的数字没有被整除，所以意味着$\sqrt{n}$到n之间也没有数字被整除。

优化

我们只需要从2枚举到$\sqrt{n}$即可。

代码

#include <stdio.h>
int is_prime(int num)
{
	for(int i = 2; i <= num / i; ++i)//(1)
	{
		if (0 == num % i)
		{
			return 0;
			break;
		}
	}
	return 1;
}

int main()
{
	int n;
	scanf("%d",&n);
	if(!is_prime(n))
	{
		printf("不是素数\n");
	}
	else
	{
		printf("是素数\n");
	}
	return 0;
}

1. 注意这里的写法。枚举到$\sqrt{n}$的话，不推荐使用sqrt(n)和i * i <= num这两种写法。
2. sqrt(n)每次都要调用库函数，那么速度就会慢一些。
3. i * i <= n，当i很大的时候，可能会发生溢出，那么 i * i就有可能是负数，那么也会执行 i * i <= n这个语句，明显发生错误。
4. 推荐博客中的这种写法。

写在最后

这里的优化，感觉自己写的不好。希望大家尽力理解。最后，为大家附上一张图片，帮助大家理解。

如图:

如果n是合数，那么它一定会有除了1和它本身之外的因子。这些因子是成对出现的，那么就如图中那样，红色的因子和蓝色的因子都是一对一对出现的。看完这个，可能会对优化那里的理解有帮助。