树的基本概念

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#二叉树 #数据结构

于 2021-07-27 22:15:58 首次发布

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1.什么是树？

树（Tree)是n（n>=0）个结点的有限级，n=0时称为空树，在任意一颗非空树中：

有且仅有一个特定的结点称为根(root)；
当n>1时，其余结点可分为m(m>0)个互不交互的有限集T1,T2,…,Tm,其中每一个集合本身又是一颗树，并且称为根的子树(SubTree)

2.树的构成

2.1 节点

分类

节点分类	特点	说明
根(root)	没有父节点只有子节点的节点
叶子(leaf)/终端节点	没有子节点或者子节点是空的节点	叶子结点度为0
分支节点/非终端节点		分支节点包含根节点

关系
- 双亲节点或父节点(Parent)：若一个节点含有子节点，则这个节点称为其子节点的父节点。
- 孩子节点或子节点(Child)：一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点。
- 兄弟节点(Sibling)：具有相同父节点的节点互称为兄弟节点
- 节点的祖先：从根到该节点所经分支上的所有节点；
- 节点的子孙：以某节点为根的子树中任一节点都称为该节点的子孙。

在这里插入图片描述

2.2 度

节点的度数：节点孩子的个数
树度：书中节点的度的最大值

2.3 层次

层次：从根开始定义起，根为第1层，根的子节点为第2层，以此类推

2.4 深度与高度

维基百科

节点的高度：节点到最远叶子节点的最长路径上边的数量。叶子节点高度为0。
节点的深度：节点到根节点的路径上边的数量。所有根节点深度为0。
树的高度：树的高度等于根节点的高度，等于最远叶子节点的深度。
树的深度：树的深度等于树的高度。
树的宽度：两个最长路径的叶子节点之间节点数。

Leetcode
树的深度：根节点到最远叶子节点之间最长路径上**节点**的数量。
树的高度：根节点和最远叶子节点之间最长路径上**边**的数量。
树的深度与树的高度是树中节点的最大层次

练习

/**
 * Definition for a binary tree node.
 * struct TreeNode {
 *     int val;
 *     TreeNode *left;
 *     TreeNode *right;
 *     TreeNode(int x) : val(x), left(NULL), right(NULL) {}
 * };
 */
class Solution {
public:
    int minDepth(TreeNode* root) {
        // 此题需注意叶子节点的定义，比较抽象，可以想象一下输入为[1,2]的情况，
        // 此时如果单纯返回 1 + min(minDepth(root->left), minDepth(root->right))，则得 1，因为结点1的右子节点深度计算出来为 0，
        // 而实际上，节点2才是符合要求的节点。所以不能单纯的递归比较2个子节点谁的深度小。

        // 首先，节点为空，直接返回0
        if(root == nullptr) return 0;
        
        // 其次，若当前节点的左右子节点均存在，说明***当前节点不是叶子节点，其孩子节点的性质也无法判定***，故返回较小的孩子节点深度
        if(root->left && root->right) return 1 + min(minDepth(root->left), minDepth(root->right));
        
        // 最后，若当前节点的左右子节点有一个不存在，则说明***当前节点的子节点中存在叶子节点***，故返回不为空的孩子节点（叶子节点）的深度
        // 当然了，若当前节点的左右子节点都不存在，那它就是叶子节点，总深度直接 +1 就好了，也符合这个 return 句法。
        return 1 + max(minDepth(root->left), minDepth(root->right));
    }

在这里插入图片描述

/**
 * Definition for a binary tree node.
 * struct TreeNode {
 *     int val;
 *     TreeNode *left;
 *     TreeNode *right;
 *     TreeNode() : val(0), left(nullptr), right(nullptr) {}
 *     TreeNode(int x) : val(x), left(nullptr), right(nullptr) {}
 *     TreeNode(int x, TreeNode *left, TreeNode *right) : val(x), left(left), right(right) {}
 * };
 */
class Solution {
public:
    int maxDepth(TreeNode* root) {
       if(nullptr==root)return 0;
       if(root->left==nullptr||root->right==nullptr){
           return max(maxDepth(root->left),maxDepth(root->right))+1;
       }
           return max(maxDepth(root->left),maxDepth(root->right))+1;
       
    }
};

在这里插入图片描述

class Solution {
public:
    int maxDepth(Node* root) {
        int maxi = 0;
        if(!root) return 0;
        //找出所有子树中最高的那个的长度
        for(Node* it:root->children){
            if(it) maxi = max(maxi,maxDepth(it));
        }
        //树的长度等于最高的子树的长度+1
        return maxi+1;
    }
};

3. 树的分类

树按照子节点的数量分为二叉树和多叉树。

二叉树是n(n>=0)个结点的有限集合,该集合或者为空集(称为空二叉树),每个节点最多有2个子节点,分别称为根结点的左子树和右子树。
多叉树是n(n>=0)个结点的有限集合,该集合或者为空集(称为空树)。每个节点有多个子节点。

分类	经典分类
二叉树	平衡二叉树、二叉搜索树、AVL、堆、红黑树
多叉树	2-3树、B树、B+树
树按照子树是否有序分为有序树和无序树。