位运算与数组问题解析：找到唯一出现一次的数字与二进制1的个数-优快云博客

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二进制的位运算：与、或、非、异或、左移、右移。

**与、或、异或的运算规律**
与（&）	或（\|）	异或（^）
0&0=0	0\|0=0	0^0=0
1&0=0	1\|0=1	1^0=1
0&1=0	0\|1=1	0^1=1
1&1=1	1\|1=1	1^1=0

左移运算符：左移n位，左边n位被丢弃，右边补n个0。

右移（右移需要正负）：正数右移，右边丢弃，左边补0；负数右移，右边丢弃，左边补1。

Java中增加无符号右移操作符（">>>")：无论正数还是负数，都在最左边插入0。

1、只出现一次的数字

【题目描述】找出数组中只出现了一次的数字。（其它数字都出现了三次）

分析：

之前有一个简化版本的“数组中只有一个数组出现一次，其余的都出现两次”。任何一个数组异或自己的结果都为0.则将数组中所有的数字进行异或，最终的结果就是我们要找的这个数字。

但是，对于这个题来说，其它数字都出现三次，则无法使用异或运算来进行计算。

一个整数是由32个0或1组成。我们可以将数组中所有元素的同一个位置的数位相加，如果第i位相加之和可以被3整除（因为数组中只有一个元素出现一次，其余的出现三次，所以余数只能是0或1），那么只出现一次的数字的第i位一定是0；如果不能被三整除，则只出现一次的数字第i位为1。这样我们就可以推出只出现一次的数字的所有二进制位，进而知道它的值。

【代码如下】

class Solution {
    //只有一个数出现一次（x），其余的出现三次，则将其转换为二进制，按位相加，如果其位能整除3，则x该二进制位为0；否则该二进制位为1
    public int singleNumber(int[] nums) {
        int[] array=new int[32];
        for(int j=0;j<nums.length;++j){
            for(int i=0;i<32;++i){
                //获取数组中下标为j的元素的从前往后数第i位的值
                array[i]+=nums[j]>>(31-i)&1;
            }
        }
        int ret=0;
        for(int i=0;i<32;++i){
            //此时array数组中存储的是只出现一次的数组的二进制的每一位
            ret=(ret<<1)+(array[i]%3==0?0:1);
        }
        return ret;
    }
}

【拓展】这个方法可以计算查找中唯一一个出现m次的数字

输入一个整数数组，数组中只有一个数组出现m次，其他数字出现n次。找出那个出现m次的数字（m不能被n整除）。

【分析】如果数组中所有数字的二进制数的第i位相加之和能被n整除，那么出现m次的数字第i位一定为0；否则出现m次的数字第i位位1；

2、前n个数二进制形式中1的个数

【题目描述】输入一个非负数n，计算0到n之间每个数字的二进制形式中1的个数，输出为一个数组。

【分析】可以使用一个for循环来遍历从0到n这n个数。问题转化为如何求一个整数二进制中1的个数。（以下介绍的两种方法时间复杂度达到了O(n),对于这道题普通的方法，时间复杂度会达到O(nk)）。

方法一：根据"i&(i-1)"计算

"i&(i-1)"是将i的二进制中最右边的1变为0。也就是说，整数i的二进制中1的个数比"i&(i-1)"的二进制中1的个数多1。

【代码如下】

class Solution {
    public int[] countBits(int n) {
        int[] array=new int[n+1];
        for(int i=1;i<=n;++i){
            array[i]=array[i&(i-1)]+1;
        }
        return array;
    }
}

方法二：根据“i/2”计算

如果正整数i是一个偶数，那么i就等于“i/2”左移一位，因此i和“i/2”的二进制中1的个数相等；如果i为奇数，那么i就等于“i/2"左移一位再加1，所以奇数i二进制中1的个数比“i/2”中1的个数多1。例如，我们可以根据3的二进制中1的个数求出6、7二进制中1的个数。

【代码如下】

class Solution {
    public int[] countBits(int n) {
        int[] array=new int[n+1];
        for(int i=1;i<=n;++i){
            if(i%2==1){
                array[i]=array[i/2]+1;
            }else{
                array[i]=array[i/2];
            }
        }
        return array;
    }
}

3、单词长度的最大乘积

【题目描述】给定一个字符串数组，计算不包含相同字符的两个字符串的长度的最大乘积。如果所有字符串都包含相同字符，则返回0。（假设字符串中只包含英文小写字母）

本题只需要考虑26个小写字母，我们只需要26个二进制数位来代替boolean类型记录字符串中出现的字符。0表示false，1表示true。

可以用一个int类型的整数来记录某个字符串中出现的字符。如果字符中包含'a'，则整数右边第一位为1，如果包含'b'，则整数中右边倒数第二位为1，以此类推。这样做能更好的判断两个字符串是否包含相同的字符。如果两个字符串中包含相同的字符，则它们对应的整数的某个数位都为0，即这两个整数进行与运算的结果不为0；如果不包含相同的字符，则两个整数的与运算的结果为0.

【代码如下】

class Solution {
    public int maxProduct(String[] words) {
         int[] array=new int[words.length];
         for(int i=0;i<words.length;++i){
             for(char ch:words[i].toCharArray()){
                 //注意：这只能用与运算，不能用＋运算，否则，如果出现重复字符，会出错
                 array[i]|=1<<(ch-'a');
             }
         }
         int ret=0;
         for(int i=0;i<words.length;++i){
             for(int j=i+1;j<words.length;++j){
                 if((array[i]&array[j])==0){
                     int len=words[i].length()*words[j].length();
                     ret=ret>len?ret:len;
                 }
             }
         }
         return ret;
    }
}