排队论模型

主要针对解决商品购物、医院看病等设计排队的问题。

一、基本概念

（1）组成部分：输入过程、排队规则、服务过程；

\quad 输入过程是指顾客来到时间的规律性：
（i）顾客的组成可能是有限的，也可能是无限的；
（ii）顾客到达的方式可能是一个一个的，也可能是成批的；
（iii）顾客到达可以是相互独立的，即以前的到达情况对以后的到达无影响，反之则是相关的；
（iv）输入过程可以是平稳的，即相继到达的间隔时间分布及数学期望、方差等数学特征都与时间无关，否则是非平稳的。

\quad 排队规则指顾客如何在服务系统中排队
（i）损失制：当顾客到达时，所有服务台均被占用，顾客离去；
（ii）等待制：当顾客到达时，所有服务台均被占用，顾客排队等待，直到接受服务；
（iii）混合制：即有等待又有损失，如队列长度限制和排队等待时间有限

（i）服务机构分为单台服务、多台服务（每个服务台同时为不同顾客服务）、多服务台串联（多服务台一次为同一顾客服务）和混合型；
（ii）服务规则分为先到先服务、后到后服务、随即服务和优先服务。

（2）设计目的：在顾客需求和服务机构的规模之间进行权衡决策，使其达到合理的平衡
（3）排队模型符号说明（X/Y/Z/A/B/C）：

• X：顾客到达流或顾客到达间隔时间的分布
• Y：服务时间的分布
• Z：服务台数目
• A ：系统容量限制
• B：顾客源数目
• C：服务规则

表示顾客到达间隔时间和服务时间的分布的符号：
M：指数分布
D：确定性
$E_k$：k阶爱尔朗分布；
G：一般服务时间的分布；
GI：一般相互独立的时间间隔的分布。

（4）排队系统的运行指标

• 平均队长：系统内顾客数（等待与正被服务的顾客）的数学期望，$L_s$
• 平均排队长：指系统内等待服务的顾客数的数学期望，$L_q$
• 平均逗留时间：顾客在系统内逗留时间（等待与被服务的时间），$W_s$
• 平均等待时间：指一个顾客在排队系统中排队等待时间的数学期望，$W_q$
• 平均忙期：指服务机构连续繁忙的时间（顾客到达空闲服务台起，到服务台再次空闲为止的时间）长度的数学期望，$T_b$

除此之外还有企业顾客损失率和服务系统服务强度等参考意义很大的指标。

系统中顾客数目（n）：
（i）队长没有限制时，$n$ = 0,1,2,…；
（ii）队长有限制，最大为$N$时，$n$ = 0,1,…,$N$；
（iii）损失制，服务台个数是$c$，$n$ = 0,1,…,$c$。
在时刻t、系统状态为n的概率用$P_n(t)$表示。

二、输入过程与服务时间的分布（用泊松流和指数分布）

（1）输入：泊松流

设$N(t)$为时间区间$[0,t)$内到达的顾客数$（t>0）$，$P_n(t_1,t_2)$为时间区间$[t_1,t_2)$内有$n$个顾客到达的概率，即 P n ( t 1 , t 2 ) = P { N ( t 2 ) − N ( t 1 ) = n } P_n(t_1, t_2) = P\{N(t_2) - N(t_1) = n\} Pn​(t1​,t2​)=P{N(t2​)−N(t1​)=n}

顾客的到达形成泊松流的条件：

1. 在不相重叠的时间区间内顾客到达数是相互独立的，无后效性
2. 对充分小的$\Delta t$，在时间区间$[t,t+\Delta t)$内有一个顾客到达的概率与$t$无关，而与区间长$\Delta t$成正比，即$P_1(t,t+\Delta t)=\lambda \Delta t+o(\Delta t)$
   其中 $\lambda$表示单位时间有一个顾客到达的概率，即概率强度
3. 对于充分小的$\Delta t$，在时间区间$[t,t+\Delta t)$内有两个或两个以上的顾客到达的概率极小，可以忽略
   
   其中$\lambda$表示单位时间内到达的顾客数，故$\frac{1}{\lambda }$表示相继顾客到达平均间隔时间。

（2）服务：指数分布

对一顾客的服务时间也就是在忙期相继离开系统的两顾客的间隔时间可以服从指数分布，其分布函数和密度函数为：
其中$\mu$表示单位时间能被服务完成的顾客数，称为平均服务率，$\frac{1}{\mu }$表示一个顾客的平均服务时间。

三、排队论中的生灭过程