动态规划总结—线性DP

最新推荐文章于 2025-01-21 09:36:24 发布

与渺小

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分类专栏：笔记

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本文介绍了动态规划中的线性DP，讲解了解题套路，包括分解子问题、列出状态转移方程等步骤。通过具体题目如最大连续子序列求解，阐述了线性DP的思路和代码实现。并分享了多个动态规划问题的解决方案，如最长公共子序列、序列和的绝对值最小等，强调了动态规划中找状态转移方程和边界条件的重要性。

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线性DP

DP问题核心就是枚举，枚举出问题所有可能的情况，然后取最优解。DP算法实际上就是设计一种思路（状态转移方程），让程序能高效率地运行出所求结果。
DP解题套路
1.把问题分解成若干子问题；
2.根据题意列出状态转移方程；
3.找出边界；
4.递推求解；
题目总结
T - 最大连续子序列
给定K个整数的序列{ N1, N2, …, NK }，其任意连续子序列可表示为{ Ni, Ni+1, …,
Nj }，其中 1 <= i <= j <= K。最大连续子序列是所有连续子序列中元素和最大的一个，例如给定序列{ -2, 11, -4, 13, -5, -2 }，其最大连续子序列为{ 11, -4, 13 }，最大和为20。在今年的数据结构考卷中，要求编写程序得到最大和，现在增加一个要求，即还需要输出该子序列的第一个和最后一个元素。
Input
测试输入包含若干测试用例，每个测试用例占2行，第1行给出正整数K( < 10000 )，第2行给出K个整数，中间用空格分隔。当K为0时，输入结束，该用例不被处理。
Output
对每个测试用例，在1行里输出最大和、最大连续子序列的第一个和最后一个元素，中间用空格分隔。如果最大连续子序列不唯一，则输出序号i和j最小的那个（如输入样例的第2、3组）。若所有K个元素都是负数，则定义其最大和为0，输出整个序列的首尾元素。
Sample Input
6-2 11 -4 13 -5 -2
10-10 1 2 3 4 -5 -23 3 7 -21
6
5 -8 3 2 5 0
1
10
3
-1 -5 -2
3
-1 0 -2
0
Sample Output
20 11 13
10 1 4
10 3 5
10 10 10
0 -1 -2
0 0 0
Huge input, scanf is recommended.

思路
== 以第i个元素为结尾的最长连续子序列==
设dp[i]是以第i个元素为结尾的最长连续子序列的长度。
先考虑以第i个元素为结尾的最大连续子序列，那么有两种结果:
如果dp[i-1]+a[i]>a[i]时，dp[i]=dp[i-1]+a[i];
否则dp[i]=a[i];
然后筛选出最大的dp[i], 即为所求的最大和。
有了最大和，我们就可以回过头来找以i为结尾，向前找最大子序列的端点，找出端点，输出最大值和端点值即可。(因为序列连续，所以可以这样求左端点，否则不能这样求)
代码
这是求最大和sum：

dp[1]=a[1];
dp[0]=0;	
for(int i=1;i<=n;i++){
   
  dp[i]=max(dp[i-1]+a[i],a[i]);	
  sum=max(dp[i], sum);
｝

这是通过sum和右端点i求左端点的

int p=0,q=0;
int c=0;
for(int i=1;i<=n;i++){
   
	if(dp[i]==sum){
   		
     int t=0;
    for(int j=i;j>=1;j--){
   	
     t+=a[j];
      if(sum==t){
   	
    p=a[j];	
    q=a[i];	
     c=1;
    break;
       }	
      }
      }												                   
      if(c==1)
     break;
}

P - Max Sum
最大连续子段和
Given a sequence a[1],a[2],a[3]…a[n], your job is to calculate the max sum of a sub-sequence. For example, given (6,-1,5,4,-7), the max sum in this sequence is 6 + (-1) + 5 + 4 = 14.
Inp

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