自顶向下语法分析之First集，Follow集，Predict集（自创标记法，利于手工计算）

基础：三个重要集合

First集

$First(\beta )$对象是串$\beta$，是$\beta$串所有可能首字母（非终极符）组成的集合，包括$\epsilon$。

Follow集

$Follow(A)$对象是非终极符$A$，是$A$之后的下一个字母（非终极符）的集合，没有$\epsilon$，有#表示终止符。

Predict集

$Predict(A\to \beta )$对象是产生式$A\to \beta$，如果产生式不可能为空串，则等于$First(\beta )$，否则，这个集合包括$First(\beta )$的非空部分和$Follow(A)$的并。

求解方法

• 对于$First$集，在以求$Predic$t集为目的的情况下，一般是对每一个非终极符$A$求其$First$集,而不是对于每条产生式右部。方法以观察为主，注意的是优先去求产生式右部首字母是终极符的那些非终极符的$First$集，再去求产生式右部首字母是非终极符的$First$集，这样不容易出错。
• 对于$Follow$集，也是最重要的部分，个人使用算法如下：
  1. 初始化：对于每个非终极符，初始化 S = { # } S=\left \{ \# \right \} S={#}，其余非终极符为空集。
  2. 按顺序遍历每条产生式，按顺序遍历该产生式右部的每个非终极符（一个双重循环，如果产生式右部没有非终极符，或者为空，不做任何操作）：
     • 如果在产生式右部的串中，该非终极符右部已经没有东西了($A\to \alpha B$)，则建立关系：$Follow(A)\subseteq Follow(B)$,把A标记在B的集合上： B = A { . . . } B = _{A}\left \{ ... \right \} B=A​{...},此后每当$Follow(A)$扩充时，同时也对含有其下标的$Follow(B)$扩充。
     • 如果在产生式右部的串中，该非终极符右部是一个终极符，直接将该终极符扩充入该非终极符的$Follow$集中。
     • 如果在产生式右部的串中，该非终极符B右部是一个非终极符C，如果$First(C)$不含$\epsilon$，将$First(C)$扩充入$Follow(B)$中，否则，将$First(C)$中除去$\epsilon$的其他所有元素扩充入$First(C)$中，然后观察$C$之后的串，所有可能出现的第一个非终极符，采用与所述三条中类似的策略。
• 注意：求$Follow$集的易错之处在于对$Follow(A)\subseteq Follow(B)$关系的更新处理出现的遗漏，以及思路的不清晰，导致对产生式中一些非终极符考虑的遗漏。对于一些易错的点，举几个例子：
  $A\to Bx$：$Follow(B)=Follow(B)\cup x$
  A → x B ( ε ∈ F i r s t ( B ) ) : 标 记 B = A { . . . } A\to xB(\varepsilon \in First(B)):标记B = _{A}\left \{ ... \right \} A→xB(ε∈First(B)):标记B=A​{...},$Follow(A)$所有元素并入B，且不断更新
  $A\to BCd（对B分析）:Follow(B)=First(Cd),First(Cd)必不为空，故Follow(B)不可能与Follow(A)有关。$
• 对于$Predict$集，直接给出公式： P r e d i c t ( A → β ) = {   F i r s t ( β ) , ε ∉ F i r s t ( β )   { F i r s t ( β ) − { ε } } ∪ F o l l o w ( A ) , ε ∈ F i r s t ( β ) Predict(A\to \beta )=\begin{cases} & \text{ }First(\beta ),\varepsilon \notin First(\beta ) \\ & \text{ } \left \{ First(\beta )-\left \{ \varepsilon \right \} \right \} \cup Follow(A),\varepsilon \in First(\beta ) \end{cases} Predict(A→β)={​ First(β),ε∈/​First(β) {First(β)−{ε}}∪Follow(A),ε∈First(β)​
  实际上就是观察$\beta$的首字母，如果是终极符，就直接填上结束，否则就要根据之前求的非终极符$First$集和$Follow$集综合判断。特别的，有$$Predict(A\to \epsilon )=Follow(A)$$

消除公共前缀和左递归

为了满足LL（1）文法分析条件，需要消除公共前缀和左递归。考试一般只要考虑直接左递归，因此只介绍消除公共前缀和直接左递归。

• 消除公共前缀：$A\to aB|aC|aD变为A\to a{A}^{{}^{\prime }},A^{{}^{\prime }}\to B|C|D$
• 消除直接左递归：$A\to A\alpha |\beta 变为A\to \beta A^{{}^{\prime }},A^{{}^{\prime }}\to \alpha A^{{}^{\prime }}|\epsilon$,注意$\epsilon$容易遗漏。

例题(2011期末考试真题）

已知文法$G$:
$$\begin{array}{rl}& E\to E-T|T\\ & T\to T\ast F|F\\ & F\to rP|P\\ & P\to (E)|i\end{array}$$
首先，消除直接左递归：
$$\begin{array}{rl}& E\to T{E}^{{}^{\prime }}\\ & E^{{}^{\prime }}\to -T{E}^{{}^{\prime }}|\epsilon \\ & T\to F{T}^{{}^{\prime }}\\ & T^{{}^{\prime }}\to \ast F{T}^{{}^{\prime }}|\epsilon \\ & F\to rP|P\\ & P\to (E)|i\end{array}$$

对可以直求的非终极符$P$,$T^{{}^{\prime }}$,$E^{{}^{\prime }}$求$First$集：

非终极符	First	Follow
$E$
$E^{{}^{\prime }}$	{ − , ε } \left \{ -,\varepsilon \right \} {−,ε}
$T$
$T^{{}^{\prime }}$	{ ∗ , ε } \left \{ *,\varepsilon \right \} {∗,ε}
$F$
$P$	{ ( , i } \left \{ (,i \right \} {(,i}

$First(P)$已知，可以直求$First(F)$：
$$\begin{array}{rl}& E\to T{E}^{{}^{\prime }}\\ & E^{{}^{\prime }}\to -T{E}^{{}^{\prime }}|\epsilon \\ & T\to F{T}^{{}^{\prime }}\\ & T^{{}^{\prime }}\to \ast F{T}^{{}^{\prime }}|\epsilon \\ & F\to rP|P\\ & P\to (E)|i\end{array}$$

非终极符	First	Follow
$E$
$E^{{}^{\prime }}$	{ − , ε } \left \{ -,\varepsilon \right \} {−,ε}
$T$
$T^{{}^{\prime }}$	{ ∗ , ε } \left \{ *,\varepsilon \right \} {∗,ε}
$F$	{ r , ( , i } \left \{ r,(,i \right \} {r,(,i}
$P$	{ ( , i } \left \{ (,i \right \} {(,i}

$First(F)$已知，可以求$First(T)$,从而求$First(E)$ ：
$$\begin{array}{rl}& E\to T{E}^{{}^{\prime }}\\ & E^{{}^{\prime }}\to -T{E}^{{}^{\prime }}|\epsilon \\ & T\to F{T}^{{}^{\prime }}\\ & T^{{}^{\prime }}\to \ast F{T}^{{}^{\prime }}|\epsilon \\ & F\to rP|P\\ & P\to (E)|i\end{array}$$

非终极符	First	Follow
$E$	{ r , ( , i } \left \{ r,(,i \right \} {r,(,i}
$E^{{}^{\prime }}$	{ − , ε } \left \{ -,\varepsilon \right \} {−,ε}
$T$	{ r , ( , i } \left \{ r,(,i \right \} {r,(,i}
$T^{{}^{\prime }}$	{ ∗ , ε } \left \{ *,\varepsilon \right \} {∗,ε}
$F$	{ r , ( , i } \left \{ r,(,i \right \} {r,(,i}
$P$	{ ( , i } \left \{ (,i \right \} {(,i}

初始化$Follow$集：

非终极符	First	Follow
$E$	{ r , ( , i } \left \{ r,(,i \right \} {r,(,i}	{ # } \left \{ \# \right \} {#}
$E^{{}^{\prime }}$	{ − , ε } \left \{ -,\varepsilon \right \} {−,ε}	{ } \left \{ \right \} {}
$T$	{ r , ( , i } \left \{ r,(,i \right \} {r,(,i}	{ } \left \{ \right \} {}
$T^{{}^{\prime }}$	{ ∗ , ε } \left \{ *,\varepsilon \right \} {∗,ε}	{ } \left \{ \right \} {}
$F$	{ r , ( , i } \left \{ r,(,i \right \} {r,(,i}	{ } \left \{ \right \} {}
$P$	{ ( , i } \left \{ (,i \right \} {(,i}	{ } \left \{ \right \} {}

对产生式$E\to T{E}^{{}^{\prime }}$，更新$T$,$E^{{}^{\prime }}$:
$$\begin{array}{rl}& E\to T{E}^{{}^{\prime }}\\ & E^{{}^{\prime }}\to -T{E}^{{}^{\prime }}|\epsilon \\ & T\to F{T}^{{}^{\prime }}\\ & T^{{}^{\prime }}\to \ast F{T}^{{}^{\prime }}|\epsilon \\ & F\to rP|P\\ & P\to (E)|i\end{array}$$

非终极符	First	Follow
$E$	{ r , ( , i } \left \{ r,(,i \right \} {r,(,i}	{ # } \left \{ \# \right \} {#}
$E^{{}^{\prime }}$	{ − , ε } \left \{ -,\varepsilon \right \} {−,ε}	E { # } _{E}^{} \left \{ \# \right \} E​{#}
$T$	{ r , ( , i } \left \{ r,(,i \right \} {r,(,i}	E ′ { − , # } _{E^{'}}^{} \left \{ -,\# \right \} E′​{−,#}
$T^{{}^{\prime }}$	{ ∗ , ε } \left \{ *,\varepsilon \right \} {∗,ε}	{ } \left \{ \right \} {}
$F$	{ r , ( , i } \left \{ r,(,i \right \} {r,(,i}	{ } \left \{ \right \} {}
$P$	{ ( , i } \left \{ (,i \right \} {(,i}	{ } \left \{ \right \} {}

对产生式$E\to -T{E}^{{}^{\prime }}$,更新$T,E^{{}^{\prime }}$:（没有发生变化）
$$\begin{array}{rl}& E\to T{E}^{{}^{\prime }}\\ & E^{{}^{\prime }}\to -T{E}^{{}^{\prime }}|\epsilon \\ & T\to F{T}^{{}^{\prime }}\\ & T^{{}^{\prime }}\to \ast F{T}^{{}^{\prime }}|\epsilon \\ & F\to rP|P\\ & P\to (E)|i\end{array}$$

非终极符	First	Follow
$E$	{ r , ( , i } \left \{ r,(,i \right \} {r,(,i}	{ # } \left \{ \# \right \} {#}
$E^{{}^{\prime }}$	{ − , ε } \left \{ -,\varepsilon \right \} {−,ε}	E { # } _{E^{}}^{} \left \{ \# \right \} E​{#}
$T$	{ r , ( , i } \left \{ r,(,i \right \} {r,(,i}	E ′ { − , # } _{E^{'}}^{} \left \{ -,\# \right \} E′​{−,#}
$T^{{}^{\prime }}$	{ ∗ , ε } \left \{ *,\varepsilon \right \} {∗,ε}	{ } \left \{ \right \} {}
$F$	{ r , ( , i } \left \{ r,(,i \right \} {r,(,i}	{ } \left \{ \right \} {}
$P$	{ ( , i } \left \{ (,i \right \} {(,i}	{ } \left \{ \right \} {}

对产生式$T\to F{T}^{{}^{\prime }}$,更新$F,T^{{}^{\prime }}$:
$$\begin{array}{rl}& E\to T{E}^{{}^{\prime }}\\ & E^{{}^{\prime }}\to -T{E}^{{}^{\prime }}|\epsilon \\ & T\to F{T}^{{}^{\prime }}\\ & T^{{}^{\prime }}\to \ast F{T}^{{}^{\prime }}|\epsilon \\ & F\to rP|P\\ & P\to (E)|i\end{array}$$

非终极符	First	Follow
$E$	{ r , ( , i } \left \{ r,(,i \right \} {r,(,i}	{ # } \left \{ \# \right \} {#}
$E^{{}^{\prime }}$	{ − , ε } \left \{ -,\varepsilon \right \} {−,ε}	E { # } _{E^{}}^{} \left \{ \# \right \} E​{#}
$T$	{ r , ( , i } \left \{ r,(,i \right \} {r,(,i}	E ′ { − , # } _{E^{'}}^{} \left \{ -,\# \right \} E′​{−,#}
$T^{{}^{\prime }}$	{ ∗ , ε } \left \{ *,\varepsilon \right \} {∗,ε}	T { − , # } _{T^{}}^{} \left \{ -,\# \right \} T​{−,#}
$F$	{ r , ( , i } \left \{ r,(,i \right \} {r,(,i}	T ′ { − , # , ∗ } _{T^{'}}^{} \left \{ -,\# ,*\right \} T′​{−,#,∗}
$P$	{ ( , i } \left \{ (,i \right \} {(,i}	{ } \left \{ \right \} {}

对产生式$T^{{}^{\prime }}\to \ast F{T}^{{}^{\prime }}$,更新$F,T^{{}^{\prime }}$（没有发生变化）:
$$\begin{array}{rl}& E\to T{E}^{{}^{\prime }}\\ & E^{{}^{\prime }}\to -T{E}^{{}^{\prime }}|\epsilon \\ & T\to F{T}^{{}^{\prime }}\\ & T^{{}^{\prime }}\to \ast F{T}^{{}^{\prime }}|\epsilon \\ & F\to rP|P\\ & P\to (E)|i\end{array}$$

非终极符	First	Follow
$E$	{ r , ( , i } \left \{ r,(,i \right \} {r,(,i}	{ # } \left \{ \# \right \} {#}
$E^{{}^{\prime }}$	{ − , ε } \left \{ -,\varepsilon \right \} {−,ε}	E { # } _{E^{}}^{} \left \{ \# \right \} E​{#}
$T$	{ r , ( , i } \left \{ r,(,i \right \} {r,(,i}	E ′ { − , # } _{E^{'}}^{} \left \{ -,\# \right \} E′​{−,#}
$T^{{}^{\prime }}$	{ ∗ , ε } \left \{ *,\varepsilon \right \} {∗,ε}	T { − , # } _{T^{}}^{} \left \{ -,\# \right \} T​{−,#}
$F$	{ r , ( , i } \left \{ r,(,i \right \} {r,(,i}	T ′ { − , # , ∗ } _{T^{'}}^{} \left \{ -,\# ,*\right \} T′​{−,#,∗}
$P$	{ ( , i } \left \{ (,i \right \} {(,i}	{ } \left \{ \right \} {}

对产生式$F\to rP$,更新$P$:
$$\begin{array}{rl}& E\to T{E}^{{}^{\prime }}\\ & E^{{}^{\prime }}\to -T{E}^{{}^{\prime }}|\epsilon \\ & T\to F{T}^{{}^{\prime }}\\ & T^{{}^{\prime }}\to \ast F{T}^{{}^{\prime }}|\epsilon \\ & F\to rP|P\\ & P\to (E)|i\end{array}$$

非终极符	First	Follow
$E$	{ r , ( , i } \left \{ r,(,i \right \} {r,(,i}	{ # } \left \{ \# \right \} {#}
$E^{{}^{\prime }}$	{ − , ε } \left \{ -,\varepsilon \right \} {−,ε}	E { # } _{E^{}}^{} \left \{ \# \right \} E​{#}
$T$	{ r , ( , i } \left \{ r,(,i \right \} {r,(,i}	E ′ { − , # } _{E^{'}}^{} \left \{ -,\# \right \} E′​{−,#}
$T^{{}^{\prime }}$	{ ∗ , ε } \left \{ *,\varepsilon \right \} {∗,ε}	T { − , # } _{T^{}}^{} \left \{ -,\# \right \} T​{−,#}
$F$	{ r , ( , i } \left \{ r,(,i \right \} {r,(,i}	T ′ { − , # , ∗ } _{T^{'}}^{} \left \{ -,\# ,*\right \} T′​{−,#,∗}
$P$	{ ( , i } \left \{ (,i \right \} {(,i}	F { − , # , ∗ } _{F}^{} \left \{ -,\# ,*\right \} F​{−,#,∗}

对产生式$F\to P$,更新$P$（没有发生变化）:
$$\begin{array}{rl}& E\to T{E}^{{}^{\prime }}\\ & E^{{}^{\prime }}\to -T{E}^{{}^{\prime }}|\epsilon \\ & T\to F{T}^{{}^{\prime }}\\ & T^{{}^{\prime }}\to \ast F{T}^{{}^{\prime }}|\epsilon \\ & F\to rP|P\\ & P\to (E)|i\end{array}$$

非终极符	First	Follow
$E$	{ r , ( , i } \left \{ r,(,i \right \} {r,(,i}	{ # } \left \{ \# \right \} {#}
$E^{{}^{\prime }}$	{ − , ε } \left \{ -,\varepsilon \right \} {−,ε}	E { # } _{E^{}}^{} \left \{ \# \right \} E​{#}
$T$	{ r , ( , i } \left \{ r,(,i \right \} {r,(,i}	E ′ { − , # } _{E^{'}}^{} \left \{ -,\# \right \} E′​{−,#}
$T^{{}^{\prime }}$	{ ∗ , ε } \left \{ *,\varepsilon \right \} {∗,ε}	T { − , # } _{T^{}}^{} \left \{ -,\# \right \} T​{−,#}
$F$	{ r , ( , i } \left \{ r,(,i \right \} {r,(,i}	T ′ { − , # , ∗ } _{T^{'}}^{} \left \{ -,\# ,*\right \} T′​{−,#,∗}
$P$	{ ( , i } \left \{ (,i \right \} {(,i}	F { − , # , ∗ } _{F}^{} \left \{ -,\# ,*\right \} F​{−,#,∗}

对产生式$P\to (E)$,更新$E$:
$$\begin{array}{rl}& E\to T{E}^{{}^{\prime }}\\ & E^{{}^{\prime }}\to -T{E}^{{}^{\prime }}|\epsilon \\ & T\to F{T}^{{}^{\prime }}\\ & T^{{}^{\prime }}\to \ast F{T}^{{}^{\prime }}|\epsilon \\ & F\to rP|P\\ & P\to (E)|i\end{array}$$

非终极符	First	Follow
$E$	{ r , ( , i } \left \{ r,(,i \right \} {r,(,i}	{ # , ) } \left \{ \# ,)\right \} {#,)}
$E^{{}^{\prime }}$	{ − , ε } \left \{ -,\varepsilon \right \} {−,ε}	E { # , ) } _{E^{}}^{} \left \{ \# ,)\right \} E​{#,)}
$T$	{ r , ( , i } \left \{ r,(,i \right \} {r,(,i}	E ′ { − , # , ) } _{E^{'}}^{} \left \{ -,\#,) \right \} E′​{−,#,)}
$T^{{}^{\prime }}$	{ ∗ , ε } \left \{ *,\varepsilon \right \} {∗,ε}	T { − , # , ) } _{T^{}}^{} \left \{ -,\# ,)\right \} T​{−,#,)}
$F$	{ r , ( , i } \left \{ r,(,i \right \} {r,(,i}	T ′ { − , # , ∗ , ) } _{T^{'}}^{} \left \{ -,\# ,*,)\right \} T′​{−,#,∗,)}
$P$	{ ( , i } \left \{ (,i \right \} {(,i}	F { − , # , ∗ , ) } _{F}^{} \left \{ -,\# ,*,)\right \} F​{−,#,∗,)}

至此$Follow$集求解完毕。计算$Predict$集：
P r e d i c t ( E → T E ′ ) = { r , ( , i } Predict(E\to TE^{'} )=\left \{ r,(,i \right \} Predict(E→TE′)={r,(,i} P r e d i c t ( E ′ → − T E ′ ) = { − } Predict(E^{'} \to -TE^{'} )=\left \{ - \right \} Predict(E′→−TE′)={−} P r e d i c t ( E ′ → ε ) = { # , ) } Predict(E^{'} \to \varepsilon )=\left \{ \#,) \right \} Predict(E′→ε)={#,)} P r e d i c t ( T → F T ′ ) = { r , ( , i } Predict(T\to FT^{'} )=\left \{ r,(,i \right \} Predict(T→FT′)={r,(,i} P r e d i c t ( T ′ → ∗ F T ′ ) = { ∗ } Predict(T^{'} \to *FT^{'} )=\left \{ * \right \} Predict(T′→∗FT′)={∗} P r e d i c t ( T ′ → ε ) = { − , # , ) } Predict(T^{'} \to \varepsilon )=\left \{ -,\#,) \right \} Predict(T′→ε)={−,#,)} P r e d i c t ( F → r P ) = { r } Predict(F \to rP )=\left \{ r \right \} Predict(F→rP)={r} P r e d i c t ( F → P ) = { ( , i } Predict(F \to P )=\left \{ (,i \right \} Predict(F→P)={(,i} P r e d i c t ( P → ( E ) ) = { ( } Predict(P\to (E) )=\left \{ ( \right \} Predict(P→(E))={(} P r e d i c t ( P → i ) = { i } Predict(P\to i)=\left \{ i\right \} Predict(P→i)={i}