多重背包问题

1.题目引入：

有 N 种物品和一个容量是 V 的背包。

第 i 种物品最多有 si 件，每件体积是 vi，价值是 wi。

求解将哪些物品装入背包，可使物品体积总和不超过背包容量，且价值总和最大。
输出最大价值。

输入格式
第一行两个整数，N，V，用空格隔开，分别表示物品种数和背包容积。

接下来有 N 行，每行三个整数 vi,wi,si，用空格隔开，分别表示第 i 种物品的体积、价值和数量。

输出格式
输出一个整数，表示最大价值。

数据范围
0<N,V≤100
0<vi,wi,si≤100

2.样例输出：

样例
输入样例
4 5
1 2 3
2 4 1
3 4 3
4 5 2
输出样例：
10

 多重背包问题顾名思义，就是限制了物品的数量，本题是求最大值，一般我们的做法是将多重背包问题变成 01 背包问题，因为它实质上也就是一个选与不选的问题而选的情况是要确定选几个而已，那么问题就变得明朗了，这里我们将用同一种方法不同写法来理解他是如何进行动态规划的。

3.代码如下： 

注意：很多小伙伴可能不理解 f[i][j]=max(f[i][j],f[i-1][j-k*v[i]]+k*w[i]) 括号内为什么是f[i][j] ？ 首先我们需要知道进行动态规划时要保证不重不漏，而下面这种情况已经做到了不重不漏，而我们要做的就是在它的所有情况中选择最大的，我们可以看到有k=0的情况，此时对应了不取，而其他则对应取得情况，显然我们只要将这些情况取一个最大值即可。

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int maxn=110;

int n,m;
int f[maxn][maxn],v[maxn],w[maxn],s[maxn];

int main()
{
	cin>>n>>m;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		cin>>v[i]>>w[i]>>s[i];
		for(int j=0;j<=m;j++)
		{
			for(int k=0;k<=s[i]&&k*v[i]<=j;k++)
			{
				
				f[i][j]=max(f[i][j],f[i-1][j-k*v[i]]+k*w[i]);
			}
		}
	}
	cout<<f[n][m];
}

 下面就是多重背包问题一维数组的标准模板也是最简模板，对比一下上下的代码，我已经将下面的核心代码转换成二维的形式，你可能出现疑问，其实我们只要确定一下他是否满足了我们的条件，即：选与不选的问题而选的情况是要确定选几个，并且要做到不重不漏，dp[i-1][j] 表示的就是不选的情况，其他的就是不选的情况1--s 就是选的数量。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int dp[1005],n,m,v,w,s;

int main()
{
	cin>>n>>m;
	for(int i=1;i<=n;i++)    // 种类 
	{
		cin>>v>>w>>s;    // 体积，价格，数量 
		for(int j=1;j<=s;j++)  // 在选的情况下一次选几个 
		{
			for(int k=m;k>=v;k--)  // 转化成 01 背包问题（即选与不选） 
			{
				dp[k]=max(dp[k],dp[k-v]+w);
			// dp[i][k]=maxn(dp[i-1][j],dp[i-1][k-v]+w);
			}
		}
	 } 
	 cout<<dp[m];
	 return 0;
}