USACO 2024 December Contest, SilverProblem 1. Cake Game （AcWing 6118. 蛋糕游戏）Python 题解

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/weixin_52740785/article/details/145816313

USACO 2024 December Contest, SilverProblem 1. Cake Game （AcWing 6118. 蛋糕游戏）Python 题解

Bessie 和 Elsie 发现了一行 $N$ 个蛋糕 $2≤N≤5⋅10^5，N 为偶数）$ ，大小依次为 $a_1,a_2,…,a_N（1≤a_i≤10^9）$ 。

两头奶牛都想吃到尽可能多的蛋糕。但是，作为非常文明的奶牛，她们决定玩一个游戏来分割蛋糕！游戏在两头奶牛之间轮流进行回合。每个回合进行以下两者之一：

Bessie 选择两个相邻的蛋糕并将它们堆叠起来，制造大小为两者大小之和的一个新蛋糕。
Elsie 选择最左边或最右边的蛋糕藏起来。
当只剩下一个蛋糕时，Bessie 吃掉它，而 Elsie 吃掉她藏起来的所有蛋糕。如果两头奶牛都采取最优策略以最大化她们吃到的蛋糕量，并且 Bessie 先进行回合，那么每头奶牛将会吃到多少蛋糕？

输入格式（从终端 / 标准输入读入）：
每个测试点包含 $T （ 1 \leq T \leq 10 ）$ 个独立的测试用例。输入保证一个测试点中的所有 $N$ 之和不超过 $10^6$ 。
每个测试用例的格式如下。
第一行包含 $N$
下一行包含 $N$ 个空格分隔的整数 $a_1,a_2,…,a_N$ 。

输出格式（输出至终端 / 标准输出）：
对于每个测试用例，输出一行，包含 b 和 e，表示 Bessie 和 Elsie 在两头奶牛都采取最优策略的情况下分别吃到的蛋糕量。
输入样例：

2
4
40 30 20 10
4
10 20 30 40

输出样例：

60 40
60 40

对于第一个测试用例，在最优策略下，
Bessie 将堆叠中间两个蛋糕。现在蛋糕的大小为 $[40, 50, 10]$ 。
Elsie 将吃掉最左边的蛋糕。现在剩余的蛋糕的大小为 $[50, 10]$ 。
Bessie 堆叠剩余的两个蛋糕。
Bessie 将吃到 $30 + 20 + 10 = 60$ 的蛋糕，而 Elsie 将吃到 $40$ 的蛋糕。

第二个测试用例是第一个测试用例反转的情况，因此答案相同。

测试点性质：
测试点 2：所有 $a_i$ 相等。
测试点 3： $N \leq 10$ 。
测试点 4-7： $N \leq 5000$ 。
测试点 8-11：没有额外限制。

题解

这题个人感觉挺抽象难理解的。不太好做说实话。我也是去看了闫老师的题解蓝桥杯集训·每日一题 | AcWing 6118. 蛋糕游戏。但是没太听懂，主要是听懂了A的选蛋糕策略。然后自己又理了一遍才比较明白。写一篇题解当复习笔记用了。

题目要点！

我一开始乍一眼没看懂，直接就去看了闫老师的题解。然后懵逼了。后面才后知后觉发现题目要点是什么：
表示 Bessie 和 Elsie 在两头奶牛都采取最优策略的情况下分别吃到的蛋糕量

最优策略！

这里把两头奶牛称为A和B，A奶牛是Bessie，B奶牛是Elsie。都采取最优策略。什么是最优策略。
显然B的最优策略非常好理解，就是每轮左右选最大！
那么A的最优策略呢？它的目标很好理解，就是吃最多！但是怎么选才能吃最多？

首先就是根据闫老师的方案，可以保证A必吃 $n //2 + 1$ 个蛋糕。

然后我就证明了一下，如果A合并的蛋糕杯有被B吃了的，还有没有可能让A吃的蛋糕多？证明结果就是不行，A必须满满当当吃完 $n //2 + 1$ 个蛋糕才是最大的，但凡有一个合并的蛋糕被B吃了，最好情况也是少于某个吃满 $n //2 + 1$ 个蛋糕的情况。

非常好证明，假设B吃掉了一个合并蛋糕（ $a_i,a_{i+1}$ ），B吃掉的是左边 $0\sim i$ （合并后 $\rightarrow i$ ），右边则是 $t\sim n$ ，那么就一定有一种方案是 $a_i,a_{i+1}$ 没被合并，然后A吃了 $a_{i+1}$ ，B依然吃的是左边 $0\sim i$ ，右边 $t\sim n$ 的方案。

那么显然A吃掉 $a_{i+1}$ 显然是要比A没吃到 $a_{i+1}$ 蛋糕值要大的！

那么问题来了，既然A必然可以吃掉 $n //2 + 1$ 个蛋糕（按照闫总的方案），那么A的最优方案是什么？这个时候就是看A、B博弈了，显然在闫老师那个方案里，A是必然被动的，B才是主动的那个。那么A的最优方案的方案只能是A所有吃完 $n //2 + 1$ 个蛋糕方案中最小的那个，因为主动的B显然会一直捡场面上左右两边最大的蛋糕来吃，而A如果此时不想让自己吃的少，那么只能让自己委屈了（但凡敢合并可以被B吃的蛋糕，那么必然会有前面证明的情况出现）！

然后就可以算A吃完 $n //2 + 1$ 个蛋糕方案中最小的那个出来，然后就得到了B的值

代码

t = int(input())

for i in range(t):
    n = int(input())
    cakes = list(map(int, input().strip().split()))
    total = sum(cakes)
    pre = [0 for _ in range(n+1)]
    for i in range(1, n+1):
        pre[i] = pre[i-1] + cakes[i-1]
    win = float("INF")
    for i in range(n//2+1, n+1):
        win = min(win, pre[i]-pre[i-n//2-1])
    print(win, total-win)

在这里插入图片描述
有没有可能用滑动窗口做这题？显然是可以滴。(求B的最大取值嘛）

t = int(input())

for i in range(t):
    n = int(input())
    cakes = list(map(int, input().strip().split()))
    total = sum(cakes)
    newcakes = cakes+cakes
    len_win = n//2-1
    newcakes = newcakes[n-len_win:n+len_win]
    tmp, win = 0, 0
    for idx, cake in enumerate(newcakes):
        tmp += cake
        if idx < len_win-1:
            continue
        win = max(win, tmp)
        tmp -= newcakes[idx-len_win+1]
    print(total-win, win)

在这里插入图片描述