Leetcode每日一题——518.零钱兑换。动态规划。多重背包应用。多重背包与排列组合的关系

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力扣

题目描述：

给你一个整数数组 coins 表示不同面额的硬币，另给一个整数 amount 表示总金额。

请你计算并返回可以凑成总金额的硬币组合数。如果任何硬币组合都无法凑出总金额，返回 0 。

假设每一种面额的硬币有无限个。 

题目数据保证结果符合 32 位带符号整数。

示例 1：

输入：amount = 5, coins = [1, 2, 5]
输出：4
解释：有四种方式可以凑成总金额：
5=5
5=2+2+1
5=2+1+1+1
5=1+1+1+1+1
示例 2：

输入：amount = 3, coins = [2]
输出：0
解释：只用面额 2 的硬币不能凑成总金额 3 。
示例 3：

输入：amount = 10, coins = [10] 
输出：1
 

提示：

1 <= coins.length <= 300
1 <= coins[i] <= 5000
coins 中的所有值 互不相同
0 <= amount <= 5000

解析：

题目要求从coins数组中选出一些元素放入背包中，且这些元素满足一定的条件（凑成amount），这种

思路满足背包问题。由于每种硬币数量无限，所以是多重背包问题。

与多重背包的对应关系：coins[i]相当于物品，amount相相当于背包容量，价值相当于组合数量

递归四部曲：

确定dp数组：dp[j]表示凑成j的硬币组合数量

确定递推公式：dp[j] = dp[j] + dp[j - coins[i]],因为求得是组合的数量，所以dp值是累加，而不是取最大值，因为取得是所有情况而不是特定的某种情况

初始化dp数组：dp[0] = 1意义是凑成0的情况只有一种，即什么都不取

确定遍历顺序：求组合的数量的话就先遍历物品再遍历容量，均采用顺序遍历

代码如下：

class Solution:
    def change(self, amount: int, coins: List[int]) -> int:
        dp = [0] * (amount + 1)
        dp[0] = 1
        for i in range(len(coins)):
            for j in range(coins[i], amount + 1):
                dp[j] += dp[j - coins[i]]
        return dp[amount]

这里说一下求组合数量得先遍历物品再遍历容量的原因：

假设dp[0]=1,dp[1]=3。那么先遍历物品再遍历容量的话就只能先到取1，再取3，只能取到{1, 3}这个组合，而不能取到{3, 1}这个组合。即dp[4]中对于1和3就只有{1, 3}这种情况

再说一下求排列数量得先遍历容量再遍历容物品的原因：

假设dp[0]=1,dp[1]=3。那么先遍历容量再遍历物品的话每个容量都要经过1和3的计算，即会先对取1的情况进行决策(可以取到{1， 3})，再对取3的情况进行决策(可以取到{3， 1})。即dp[4]中对于1和3有{1, 3}和{3, 1}2种情况.