Leetcode每日一题——1049.最后一块石头的重量||。动态规划。0-1背包推导

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力扣

题目描述：

有一堆石头，用整数数组 stones 表示。其中 stones[i] 表示第 i 块石头的重量。

每一回合，从中选出任意两块石头，然后将它们一起粉碎。假设石头的重量分别为 x 和 y，且 x <= y。那么粉碎的可能结果如下：

如果 x == y，那么两块石头都会被完全粉碎；
如果 x != y，那么重量为 x 的石头将会完全粉碎，而重量为 y 的石头新重量为 y-x。
最后，最多只会剩下一块 石头。返回此石头 最小的可能重量 。如果没有石头剩下，就返回 0。

示例 1：

输入：stones = [2,7,4,1,8,1]
输出：1
解释：
组合 2 和 4，得到 2，所以数组转化为 [2,7,1,8,1]，
组合 7 和 8，得到 1，所以数组转化为 [2,1,1,1]，
组合 2 和 1，得到 1，所以数组转化为 [1,1,1]，
组合 1 和 1，得到 0，所以数组转化为 [1]，这就是最优值。
示例 2：

输入：stones = [31,26,33,21,40]
输出：5
 

提示：

1 <= stones.length <= 30
1 <= stones[i] <= 100

解析：

这道题可以转换成求0-1背包问题中的背包容量为sum/2时的最大和，再用sum-2*最大和。比如题给的示例：[31,26,33,21,40]。sum / 2 = 75.dp[75] = 73(列表中元素之和且这个和小于且最逼近75)，73可以看成一块由若干个石头组成的大石头，要跟另一块（sum-73）的石头碰，结果剩下5.即返回sum-2*dp[sum/2]。

其实本质上要获得剩下的最小石头，最要求找出质量最接近的石头，再把石头的质量相减就可以了。而这里只是把stones中的石头分为2组，且2组的质量最接近sum/2而已。

dp四部曲：

    确定dp数组：dp[j]表示质量和为j时所取得列表中得石头的最大和(对应0-1背包就是背包容量为j时背包中物品价值的最大和)

    确定递推公式：dp[j] = max(dp[j], dp[j - stones[i]] + stones[i])。第一项表示不去stones[i], 第二项表示取stones[i]

    初始化dp数组：什么还没有决策时dp值全为0

    确定遍历顺序：遍历列表时顺序，遍历容量时逆序。跟0-1背包一个遍历思路

    返回sum(stones) - 2 * dp[sum/2]

代码如下：

class Solution:
    def lastStoneWeightII(self, stones: List[int]) -> int:
        '''
    dp四部曲：
    确定dp数组：dp[j]表示连续和为j时背包中物品质量的最大和
    确定递推公式：dp[j] = max(dp[j], dp[j - stones[i]] + stones[i])
    初始化dp数组：什么还没有决策时dp值全为0
    确定遍历顺序：遍历列表时顺序，遍历容量时逆序。跟0-1背包一个遍历思路
    返回sum(stones) - 2 * dp[sum/2]
    '''
        target = sum(stones) // 2
        dp = [0] * (target + 1)
        for i in range(len(stones)):
            for j in range(target, stones[i] - 1, -1):#记住这一步要逆序，不然会重复取同一块石头
                dp[j] = max(dp[j], dp[j - stones[i]] + stones[i])
        return sum(stones) - 2 * dp[target]