【算法刷题】AcWing 113. 特殊排序——二分

有 $N$ 个元素，编号 $1,\mathrm{2..}N$，每一对元素之间的大小关系是确定的，关系具有反对称性，但不具有传递性。

注意：不存在两个元素大小相等的情况。

也就是说，元素的大小关系是 $N$ 个点与 $\frac{N\times (N-1)}{2}$ 条有向边构成的任意有向图。

然而，这是一道交互式试题，这些关系不能一次性得知，你必须通过不超过 $10000$ 次提问来获取信息，每次提问只能了解某两个元素之间的关系。

现在请你把这 $N$ 个元素排成一行，使得每个元素都小于右边与它相邻的元素。

你可以通过我们预设的 bool 函数 compare 来获得两个元素之间的大小关系。

例如，编号为 $a$ 和 $b$ 的两个元素，如果元素 $a$ 小于元素 $b$，则 compare(a,b) 返回 true，否则返回 false。

将 $N$ 个元素排好序后，把他们的编号以数组的形式输出，如果答案不唯一，则输出任意一个均可。

数据范围
$1\le N\le 1000$
输入样例

[[0, 1, 0], [0, 0, 0], [1, 1, 0]]

输出样例

[3, 1, 2]

①分析

$$\begin{gathered} 由数据范围可知时间复杂度不超过nlogn \\ 将问题转化为给定一个已经排好序的序列，如何将一个数快速的插入到该序列中，这可以用二分来做 \\ 为了方便边界问题的判断，在序列左右加上负无穷和正无穷 \\ 每次二分出中点a_m \\ 如果a_m>i那么i一定可以插到左边，如果a_{m-1}<i那么差到他们之间即可，否则就看a_{m-2} \\ 依次向前找，一定可以找到插入的位置，因为第一个元素为负无穷 \\ 同理，如果a_m<i那么i一定可以插到右边 \end{gathered}$$

②代码

// Forward declaration of compare API.
// bool compare(int a, int b);
// return bool means whether a is less than b.

class Solution {
public:
    vector<int> specialSort(int N) {
        vector<int> res(1, 1);
        for (int i = 2; i <= N; i++)
        {
            int l = 0, r = res.size() - 1;
            while (l < r)
            {
                int mid = l + r + 1 >> 1;
                if (compare(res[mid], i))
                    l = mid;
                else
                    r = mid - 1;
            }
            
            res.push_back(i);
            for (int j = res.size() - 2; j > r; j--)
                swap(res[j], res[j + 1]);
            if (compare(i, res[r]))
                swap(res[r], res[r + 1]);
        }
        
        return res;
    }
};

③细节分析

• 初始化答案数组

  vector<int> res(1, 1); // 一开始答案里面只有一个数为1
  

• 二分找到一个小于i的数，且后面一个数比i大

  int l = 0, r = res.size() - 1;
  while (l < r)
  {
      int mid = l + r + 1 >> 1;
      if (compare(res[mid], i))
          l = mid;
      else
          r = mid - 1;
  }
  

• 将插入的i插入到尾部之后，将数依次交换向后移

  for (int j = res.size() - 2; j > r; j--)
      swap(res[j], res[j + 1]);
  

• 如果而分出的结果r都大于i的值那么说明他应该放在第0个位置

  if (compare(i, res[r]))
      swap(res[r], res[r + 1]);