蓝桥杯十大常见天阶功法——虫之呼吸.贰之型.二分

友友们好(^-^)🌹🌹🌹，我是杨枝，一枚在算法领域迈步的呆萌的博主呀~
目前还是一只纯纯的菜汪🐶。 典型的又菜又爱闹那种👀，做不好很多事，说不好很多话，写题还总不Ac😅,还在努力还在前进👣。
因为了，你们对我来说都是是独一无二的呀💓。在点开这篇文章的那一刻，我相信，我们之间相互需要彼此啦🌹🌹
时刻谨记：认真写算法，用心去分享。不负算法，不误卿。 感谢相遇（＾㉨＾）。

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蓝桥杯的十种呼吸法是笔者结合自己的学习筛选出来的十个知识点。本着像看漫画一样了解算法原理。当日后自己确实遇到相关的习题了，可以再回头结合着我的题解报告来加深理解喔。

小伙伴们对忍姐姐那把独特的日轮刀有没有印象了，感觉喃，舞起来好轻巧，看着好潇洒

但是忍姐姐的结局好容易爆泪点呀😭😭无限城中就这种牺牲了😭😭😭

害，得回归正题啦~
到蝴蝶屋中开始修习咱们今天要学的呼吸之法 —— 二分啦

💓据说只有10%的程序员可以写对二分

二分的基础用法是在单调序列或单调函数中进行查找。因此当问题具有单调性的时候，就一定可以通过二分把求解转换为判定。说通俗一点了，可理解为判断出答案在这个单调区间的位置
(根据复杂度理论，进行判定的难度小于进行求解)。

进一步，我们还可以扩展到通过三分法解决单峰函数的极值以及相关的问题。

二分难点在于对细节的处理：

对于整数域上的二分，需要注意终止边界、左右区间取舍时的开闭情况，避免漏掉答案或造成死循环；

对于实数域的二分，需要注意精度问题。

🌟整数集合上的二分

使用二分法的前提是保证最终答案处于闭区间$[l,r]$之内，循环以 $l=r$结束，每次二分的中间值$mid$会归属于左半段与右半段二者之一。

情况一：在单调递增序列$a$中查找大于等于x的数最小的一个位置。

while(l < r)
{
	int mid = (l+r) >> 1;
	if(a[mid] >= x) r = mid ;
	else l = mid + 1;
}
return a[l];

情况一用图片演示的效果如下：

情况二：在单调递增序列a中查找小于等于x的数中最大的一个位置

while(l < r)
{
	int mid = (l+r+1) >> 1;
	if(a[mid] <= x) l = mid ;
	else r = mid - 1;
}
return a[l];

对于情况二用图片演示效果如下：

如同上面两段代码所示，这种二分写法可能会有两种形式：

1、范围缩小时，$r=mid$，$l=mid+1$，取中间值时，$mid=(l+r)>>1$
2、范围缩小时，$l=mid$，$r=mid-1$，取中间值时，$mid=(l+r+1)>>1$

注意第二段的写法，倘若第二段也是采用$mid=(l+r)>>1$，那么当$r-l=1$时，即$r=l+1$，那么就会出现：

$mid=(r+l)>>1$ = $(l+1+l)>>1$ = $l$。

若接下来进入$l=mid$的分支，可行的区间并没有缩小，会造成死循环。

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若进入 r = m i d