切蛋糕

题目描述

龙龙有一块蛋糕,现在他想将蛋糕平均切成k块,分给他的k名hxd。但是不幸的是,因为龙龙不擅长切蛋糕,他每一次只能将一块蛋糕平均分成两份。例如,将一块大小为1的蛋糕分割成两块大小为1/2的蛋糕,将一块大小为1/2的蛋糕分割成两块大小为1/4的蛋糕,以此类推。由于龙龙手法有限,蛋糕的大小最小不能小于1/215

除此之外,为了更有仪式感,龙龙在将切好的蛋糕分给自己的hxd之前,要先将蛋糕打包。龙龙可以将切好的任意数量块蛋糕打包在一起,并交给他的一位hxd。需要注意的是,蛋糕在打包好后就不能再被切分了。为了公平起见,龙龙希望他的每一位hxd分得的蛋糕大小是相等的,即每位hxd分得的蛋糕的大小,与1/k的差距的绝对值不能大于1/210 。因为龙龙很懒,所以他希望蛋糕的总操作次数(每次打包或切分算一次操作)不超过6000。

现在龙龙想请你为他设计一种方案,使得他能够在6000次操作内,将蛋糕公平地分给他的hxd们。

输入描述:

输入在一行中给出1个不超过210的正整数k。

输出描述

在第一行输出一个不超过6000的正整数N,表示方案的操作次数。
接下来的N行描述该方案的N次操作。
对于第i次操作,若该操作要进行切分操作,则在该行行首输出1,之后输出要切分的蛋糕的大小。例如:若要将一块大小为1/21的蛋糕分割成两块大小为1/22的蛋糕,则在该行输出1 1;若要将一块大小为1/22的蛋糕分割成两块大小为1/23的蛋糕,则在该行输出1 2。初始时完整的蛋糕,大小视为1/20
若该操作要进行打包操作,则在该行行首输出2,之后输出一个正整数m,代表要打包的蛋糕块数。之后输出m个正整数,分别代表要打包的m快蛋糕的大小。例如:若要将一块大小为1/21 的蛋糕和一块大小为1/22的蛋糕进行打包,则在该行输出2 2 1 2;若要将两块大小为1/22 的蛋糕进行打包,则在该行输出2 2 2 2。
需要注意,一块蛋糕只有在被打包后才可以被龙龙送给他的hxd。所以你至少应进行k次打包操作。每份被包装的蛋糕的大小与1/k的差距的绝对值不应大于1/210

示例1

输入

2

输出

3
1 0
2 1 1
2 1 1

代码如下

#include<cstdio>
int K;
int main(){
    scanf("%d",&K);
    int ans=K+(1<<12)-1;
    printf("%d\n",ans);
    int cnt=0;
    for(int i=0;i<12;i++){
        for(int j=(1<<i);j>=1;j--){
            printf("1 %d\n",i);
            cnt++;
        }
    }
    int tmp=(1<<12)/K,res=(1<<12)%K;
    for(int i=1;i<=K;i++){
        printf("2 ");
        int ed=tmp;
        if(res){
            res--;
            ed++;
        }
        printf("%d ",ed);
        for(int i=1;i<=ed;i++){
            printf("12%c",i==ed?'\n':' ');
        }
    }
    return 0;
}
### 哈达玛矩阵与蛋糕问题的应用分析 #### 背景介绍 哈达玛矩阵是一种特殊的方阵,其元素仅由 \(+1\) 和 \(-1\) 组成,并满足正交性质。这种矩阵在信号处理、编码理论以及组合设计等领域有广泛应用[^1]。 对于“蛋糕”这一经典问题,通常涉及如何公平分配资源或物品给多个参与者。该问题的核心在于找到一种策略,在满足特定约束条件下实现最优解。尽管表面上看,“蛋糕”似乎是一个简单的几何分割问题,但在引入复杂条件(如偏好差异或多维属性)时,则可能需要用到更高级的数学工具来建模和求解[^2]。 #### 应用场景探讨 以下是关于哈达玛矩阵应用于解决蛋糕问题的一些潜在方向: 1. **多维度公平划分** 当考虑将一块具有多种特性(颜色分布、味道层次等)的蛋糕分给若干人时,可以利用哈达玛矩阵构建一个多变量优化模型。通过定义每种特性的权重向量并与对应的哈达玛行相乘,能够量化每位参与者的满意度并寻求全局均衡方案[^3]。 2. **噪声容忍度下的近似算法** 在实际操作过程中可能存在测量误差或者主观判断偏差等情况影响最终结果准确性。此时可借助基于哈达玛变换的相关技术开发具备一定抗干扰能力的近似算法,从而提高鲁棒性和实用性[^4]。 ```python import numpy as np def hadamard_transform(matrix): n = matrix.shape[0] H = np.zeros((n, n)) if n == 1: return np.array([[1]]) half_n = int(n / 2) sub_H = hadamard_transform(matrix[:half_n,:half_n]) top_left = sub_H top_right = sub_H.copy() bottom_left = sub_H.copy() bottom_right = -sub_H H[:half_n, :half_n], H[:half_n, half_n:] = top_left, top_right H[half_n:, :half_n], H[half_n:, half_n:] = bottom_left, bottom_right return H # Example Usage example_matrix = np.eye(8) # Identity Matrix of size 8x8 hadamard_mat = hadamard_transform(example_matrix) print(hadamard_mat) ``` 上述代码片段展示了如何递归生成一个标准形式的Hadamard矩阵实例用于进一步计算实验验证阶段中的数据预处理部分。 #### 结论总结 虽然目前尚未见到直接针对传统意义上的“蛋糕”难题采用纯哈达玛方法给出具体解答的研究成果报道出来;但是凭借它本身所具有的优良代数结构特点及其衍生出来的各种变体技巧确实为探索此类挑战提供了新的思路启发价值所在之处值得深入挖掘研究下去[^5]。
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