weixin_51966535的博客

1、给出正整数a和m，gcd(a,m)=1，请问，a模m的乘法逆元（在mod m的意义下）是唯一的吗？为什么？请证明。是唯一的。证明如下：因为 gcd(a,m)=1gcd(a,m)=1gcd(a,m)=1，所以 aaa 模 mmm 下存在乘法逆元，假设乘法逆元不唯一则有：a⋅a−1≡1mod  ma⋅(a−1)′≡1mod  ma\cdot a^{-1} \equiv 1 \mod m \\a\cdot (a^{-1})' \equiv 1 \mod ma⋅a−1≡1modma⋅(a−1)′≡1

1、证明命题11.2封闭性设任意两个元素 m1,m2∈QRpm_{1},m_{2}\in\mathbb{QR}_{p}m1​,m2​∈QRp​，则存在 x1,x2∈Zp∗x_{1},x_{2}\in\mathbb{Z}_{p}^{*}x1​,x2​∈Zp∗​，使得m1≡x12mod  pm2≡x22mod  pm_{1}\equiv x_{1}^{2} \mod p \\m_{2}\equiv x_{2}^{2} \mod pm1​≡x12​modpm2​≡x22​modp则m1m2≡x

1.手动计算20002019mod  2212000^{2019}\mod 22120002019mod221221=17×13221=17\times 13221=17×13，17,1317,1317,13 均为素数，由中国剩余定义代数版本可得，Z221≅Z17×Z13\mathbb{Z}_{221} \cong \mathbb{Z}_{17}\times \mathbb{Z}_{13}Z221​≅Z17​×Z13​，则有2000↔(11,11)2000\leftrightarrow (11,11)20

1.如果H1\mathbb{H}_{1}H1​、H2\mathbb{H}_{2}H2​是群G\mathbb{G}G的正规子群，证明H1\mathbb{H}_{1}H1​H2\mathbb{H}_{2}H2​也是群G\mathbb{G}G的正规子群因为H1\mathbb{H}_{1}H1​H2\mathbb{H}_{2}H2​是群G\mathbb{G}G的正规子群，则有∀g∈G,gH1=H1g,gH2=H2g\forall g \in \mathbb{G},g\mathbb{H}_{1}=\mathbb{H

1. 设G\mathbb{G}G是群，H\mathbb{H}H是G\mathbb{G}G的子群。任取g1,g2∈Gg_{1},g_{2}\in\mathbb{G}g1​,g2​∈G，则g1H=g2Hg_{1}\mathbb{H}=g_{2}\mathbb{H}g1​H=g2​H当且仅当g1−1g2∈Hg_{1}^{-1}g_{2}\in\mathbb{H}g1−1​g2​∈H充分性证明：∃h1,h2∈H\exists h_{1},h_{2}\in\mathbb{H}∃h1​,h2​∈H，使得 g1h1=

1. 请心算列举出群 Z10\mathbb{Z}_{10}Z10​ 的所有生成元。由于加法群，易知 111 是群的其中一个生成元。而1−101-101−10 中 与 101010 互素的有1,3,7,91,3,7,91,3,7,9故生成元 111 自身做1,3,7,91,3,7,91,3,7,9次群运算后得到的都是生成元，也即是1,3,7,91,3,7,91,3,7,92. 群 Z17∗\mathbb{Z}_{17}^{*}Z17∗​ 有多少个生成元?已知 3 是其中一个生成元，请问 9 和 10

1. 证明命题6.6因为a，b，c∈Ga，b，c\in\mathbb{G}a，b，c∈G则存在一个 aaa 的逆元 a−1a^{-1}a−1 使得aa−1=eaa^{-1}=eaa−1=e，且be=bbe=bbe=b，ce=cce=cce=c故在等式 ba=caba=caba=ca 两边同时乘以a−1a^{-1}a−1，即baa−1=caa−1baa^{-1}=caa^{-1}baa−1=caa−1则可得b=cb=cb=c ，故命题前半部分得证而命题后半部分由 a−1a=ea^{-1}a=ea.

1、请证明以下定理：对任意n个正整数，它们的最大公因子d是这n个整数的某个整数的线性组合，即d=a0s0+a1s1+a2s2+...+an−1sn−1d = a_{0} s_{0} + a_{1} s_{1} + a_{2} s_{2} + ... + a_{n-1} s_{n-1}d=a0​s0​+a1​s1​+a2​s2​+...+an−1​sn−1​，即sis_isi​ 都是整数。证明如下：构造集合S={a0s0+a1s1+...+an−1sn−1:si∈ Z且a0s0+a1

1、求乘法逆元以及求解同余方程ax = b mod m具体题目如下：实现求乘法逆元的函数，给定a和m，求a模m的乘法逆元，无解时请给出无解提示，并且只返回正整数。进而给出求解同余方程（ax = b mod m）的函数，即给定a，b，m，输出满足方程的x，无解给出无解提示。下面程序均假设egcd函数已经实现1.1 求乘法逆元//实现求乘法逆元的函数#include <iostream>using namespace std;int multi_inverse (int a, i

1、给出Bezout定理的完整证明构造集合S={am+bn:m，n∈ Z且am+bn≥0}S= \left\{am+bn:m，n\in\ \mathbb{Z} 且am+bn\geq 0\right\}S={am+bn:m，n∈ Z且am+bn≥0}显然集合SSS非空，根据良序原则，SSS中存在最小值ddd，令d=ar+bsd=ar+bsd=ar+bs以下分两部分证明：1）证明d是a、b的公因子由除法定理，设a=dq+r′a=dq+r'a=dq+r′, 且0≤r′<

1. 用 C 语言编程实现一种迭代版本的简单乘法。#include<iostream>using namespace std;int multiply(int a,int b); int main(){ int a,b; cout<<"输入两个数："; cin>>a>>b; cout<<"结果："<<multiply(a,b); }int multiply(int a,int b){ int sum=0;