Haskell中的递归函数

沉思的胖鸟

于 2024-11-19 15:48:45 发布

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分类专栏： Haskell 文章标签：算法开发语言笔记

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递归可以说是函数式编程里面最强大的思路之一，咱们从一个一个小例子逐步体会递归思维之美妙，其实哪怕是不搞编程的外行，了解递归的思路也大有裨益的。

从一个小例子说起

所谓递归，就是假想一个问题已经解决了，然后去构思问题的解法，有种薅自己头发上天的感觉。咱们先看一个最简单的例子，从1到n求和，比如1+2+3+4...+100。这个简单问题当然有很多很多的解法，今天咱们为了说明递归的思想，就用递归的方式。

咱们先不谈Haskell，先从数学的角度思考这个问题，我们可以把1到n求和的结果，看做n的函数f(n)，因为只要n这个值确定了，1到n求和的结果就唯一确定了，完全符合数学对于函数的定义。那么我们一步一步的分析：

n=1：当然就是1了。所以f(1)=1.
n=2：当然就是在前一个的基础上，增加2，也就是f(2)=f(1)+2=1+2=3
n=3：当然就是在前一个的基础上，增加3，也就是f(3)=f(2)+3=3+3=6
。。。

很显然，从n=2开始，我们就看出规律了，什么规律呢？就是如果我们知晓了f(n-1)，我们就知晓了f(n)，用数学语言来说就是，我们发现了一个函数，它是从n,f(n-1)这两个数，映射到了f(n)，也就是：

f(n) = f(n-1) + n

显然，这正是“累加”之含义所在。走到n就加到n嘛！

从数学的角度来说，只要咱们定义了起点，和一步一步推算下一个步骤的规则，理论上整个计算序列就定了，也就是说，咱们就提供了足够的信息，可以计算出来第n步骤的结果了。那么问题来了，如果我们把这些信息“告知”Haskell，是不是它就可以帮我们算出结果，而不需要我们具体告诉他如何把这N个步骤组合起来？

答案是，行。实际上，Haskell代码写出来，跟数学形态几乎别无二致，道友请看：

f 1 = 1
f n = f (n-1) + n
f 100
-- 5050

我想，这个例子虽然简单，却足以展现Haskell递归函数之美妙，你看这个代码，咱们其实并没有描述如何从1加到n，咱们只是把数学上的递归函数定义给原封不动的按照Haskell语法写下来罢了，而且这个Haskell语法，和原本数学上的写法，也只是些许差异而已。

嗯。其实就一个差异，Haskell的函数调用没有括号，哈哈。

递归程序设计方法

当然了，现实中从1到n累加这种小问题是没啥意义的。但是在思考现实问题前，咱们先归纳一下思路，就是到底如何设计一个递归程序？

我们先考虑一类递归问题：可以分解成n个步骤的问题，简单的说就是，这个问题的求解，可以“一步一步”来。累加问题显然就是属于这类问题。咱们再看一个经典问题：求解斐波那契数列。

道友请看定义：

斐波那契数列是一个整数序列，其中每个数字是前两个数字的和。数列通常以 0 和 1 开始，即：

F(0)=0

F(1)=1

对于 n≥2，每个后续的数字 F(n) 由以下递归关系定义：

F(n)=F(n−1)+F(n−2)

简单地说，它的模式是，第一个步骤的结果，是前两个步骤的和。这个定义，咱们可以直接改写成Haskell语法：

fib 1 = 1
fib 2 = 1
fib n = fib (n-1) + fib (n-2)

然后，bling bling的斐波那契函数就被咱写出来了。奥利给。

总结一下，咱们要做一个递归程序，主要是两件事：

定义起点，开头的1步或者少数步骤
定义递推规则，即从n-1,n-2..的步骤，计算第n步骤的结果的方法

然后，按照Haskell语法写下来，打完收工。

你就说这代码，它骚不骚？

快速排序

下面咱们要上强度了。排序算法里面有一个钻石经典的快速排序。其思想大致是这样的。设想我们有一个数组，里面是一坨数字（其实可以是任何可排序对象），咱想排序，怎么搞呢？咱把数组的头取出来，也就是数组第一个数字，以它为准，剩余数字里面，跟它相等或者比它更小的，分为一组，都在它前面，然后排序。比它更大的，分另一组，在它后面，然后排序。我们用伪代码可以表达为：

sort(list) := sort(smaller) + list_head + sort(bigger)

当然还要补充一个特殊情况，那就是，对于空数组，那显然是不需要排序的，或者说排序后还是空。即：

sort(empty_list) := empty_list

现在，咱们看看怎么写成Haskell代码。对于Haskell不熟悉的道友，这里要先说明几个事情。

(first:rest) = someList 在Haskell里面，表示把someList拆成头（first）和剩余的（rest）
[ y | y<- xs, y <= x ] 表示xs这个数组里面，所有<=x的东西，新组成一个数组。
xs ++ ys 表示把xs和ys两个数组连接成一个新数组

OK。这就差不多了。上代码：

qsort [] = []
qsort (x : xs) = smaller ++ [x] ++ bigger
  where
    smaller = qsort [y | y <- xs, y <= x]
    bigger  = qsort [y | y <- xs, y > x]

qsort [3, 2, 5, 1, 4]
-- [1,2,3,4,5]

看这个代码，是不是几乎就跟快速排序的定义一模一样。