2021-03-09

《数据结构》- -第一章

一·算法

算法是对特定问题求解步骤的一种描述，它是指令的有限序列。

二·特性

（1）有穷性：算法必须总是在执行有穷步之后结束。
（2）确定性：算法中每一条指令必须有确切的含义。
（3）可行性：算法一定是能行的
（4）输入输出：算法可以有0个或多个输入 一个或多个输出

一个好的算法应该具有正确性，可读性，健壮性，高效率和低存储量的特征

三·算法时间效率度量
（1）可以忽略加法常量

O(2n + 3) = O(2n)

（2）与最高次项相乘的常数可忽略

O(2n^2) = O(n^2)

（3）最高次项的指数大的，函数随着 n 的增长，结果也会变得增长得更快

O(n^3) > O(n^2)

（4）判断一个算法的（时间）效率时，函数中常数和其他次要项常常可以忽略，而更应该关注主项（最高阶项）的阶数

O(2n^2) = O(n^2+3n+1)
O(n^3) > O(n^2)

四·时间复杂度的计算

（1）用常数 1 取代运行时间中的所有加法常数

（2）在修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项

（3）如果最高阶项存在且不是 1，则去除与这个项相乘的常数（即 O(2n^2) = O(n^2)，得到的结果就是大 O 阶

例：

int i,j;
for ( i = 0; i < n; ++i){
    for(j = i; j < n; ++j){
        /*时间复杂度为 O(1) 的程序步骤序列 */
    }
}

五·分析

对于外循环，其时间复杂度为 O(n)；
对于内循环环，当 i=0 时，内循环执行了 n 次，当 i=1 时，执行了 n-1 次，······当 i=n-1 时，执行了 1 次。
因此内循环总的执行次数为：
n + (n-1) + (n-2) + \cdots + 1 = \frac{n(n+1)}{2} = \frac{n^2}{2} + \frac{n}{2}

根据大 O 阶推导方法，最终上述代码的时间复杂度为 ：

六·常见的时间复杂度