代码随想录算法训练营第35天 动态规划part03| 题目： 01背包问题 二维 、 01背包问题 一维 、 416. 分割等和子集

代码随想录算法训练营第35天 动态规划part03| 题目： 01背包问题 二维 、 01背包问题 一维 、 416. 分割等和子集

文章来源：代码随想录

01背包问题 二维

import java.util.Scanner;
public class Main{
     public static void main(String[] args) {
         Scanner scanner = new Scanner(System.in);
        int n = scanner.nextInt();
        int bagweight = scanner.nextInt();

        int[] weight = new int[n];
        int[] value = new int[n];

        for (int i = 0; i < n; ++i) {
            weight[i] = scanner.nextInt();
        }
        for (int j = 0; j < n; ++j) {
            value[j] = scanner.nextInt();
        }
        int[][] dp=new int[n][bagweight +1];
        for(int j=weight[0];j<=bagweight;j++){
            dp[0][j]=value[0];
        }
        for(int i=1;i<n;i++){
            for(int j=0;j<=bagweight;j++){
                if(j<weight[i]){
                dp[i][j]= dp[i-1][j];
                }else{
                    dp[i][j]= Math.max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-weight[i]]+value[i]);
                }
            }
        }
         
         System.out.println(dp[n - 1][bagweight]);
         
     }
    
    
}

01背包问题 一维

题目名称：416. 分割等和子集

题目难易：中等

给定一个只包含正整数的非空数组。是否可以将这个数组分割成两个子集，使得两个子集的元素和相等。

注意: 每个数组中的元素不会超过 100 数组的大小不会超过 200

示例 1:

输入: [1, 5, 11, 5]
输出: true
解释: 数组可以分割成 [1, 5, 5] 和 [11].
示例 2:

输入: [1, 2, 3, 5]
输出: false
解释: 数组不能分割成两个元素和相等的子集.
提示：

1 <= nums.length <= 200
1 <= nums[i] <= 100

第一想法：

使用回溯法暴力求解，但本题需要套用背包问题。由于每个元素只能取1次，是01背包问题，背包重量和价值都是元素的数据，

解答思路：

这道题目初步看，和如下两题几乎是一样的，大家可以用回溯法，解决如下两题

698.划分为k个相等的子集
473.火柴拼正方形
这道题目是要找是否可以将这个数组分割成两个子集，使得两个子集的元素和相等。

那么只要找到集合里能够出现 sum / 2 的子集总和，就算是可以分割成两个相同元素和子集了。

本题是可以用回溯暴力搜索出所有答案的，但最后超时了，也不想再优化了，放弃回溯，直接上01背包吧。

如果对01背包不够了解，建议仔细看完如下两篇：

动态规划：关于01背包问题，你该了解这些！(opens new window)
动态规划：关于01背包问题，你该了解这些！（滚动数组）(opens new window)
#01背包问题
背包问题，大家都知道，有N件物品和一个最多能背重量为W 的背包。第i件物品的重量是weight[i]，得到的价值是value[i] 。每件物品只能用一次，求解将哪些物品装入背包里物品价值总和最大。

背包问题有多种背包方式，常见的有：01背包、完全背包、多重背包、分组背包和混合背包等等。

要注意题目描述中商品是不是可以重复放入。

即一个商品如果可以重复多次放入是完全背包，而只能放入一次是01背包，写法还是不一样的。

要明确本题中我们要使用的是01背包，因为元素我们只能用一次。

回归主题：首先，本题要求集合里能否出现总和为 sum / 2 的子集。

那么来一一对应一下本题，看看背包问题如何来解决。

只有确定了如下四点，才能把01背包问题套到本题上来。

• 背包的体积为sum / 2
• 背包要放入的商品（集合里的元素）重量为 元素的数值，价值也为元素的数值
• 背包如果正好装满，说明找到了总和为sum / 2 的子集。
• 背包中每一个元素是不可重复放入。

以上分析完，我们就可以套用01背包，来解决这个问题了。

动规五部曲分析如下：

1.确定dp数组以及下标的含义
01背包中，dp[j] 表示： 容量为j的背包，所背的物品价值最大可以为dp[j]。

本题中每一个元素的数值既是重量，也是价值。

套到本题，dp[j]表示 背包总容量（所能装的总重量）是j，放进物品后，背的最大重量为dp[j]。

那么如果背包容量为target， dp[target]就是装满 背包之后的重量，所以 当 dp[target] == target 的时候，背包就装满了。

有录友可能想，那还有装不满的时候？

拿输入数组 [1, 5, 11, 5]，举例， dp[7] 只能等于 6，因为 只能放进 1 和 5。

而dp[6] 就可以等于6了，放进1 和 5，那么dp[6] == 6，说明背包装满了。

2.确定递推公式
01背包的递推公式为：dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);

本题，相当于背包里放入数值，那么物品i的重量是nums[i]，其价值也是nums[i]。

所以递推公式：dp[j] = max(dp[j], dp[j - nums[i]] + nums[i]);

3.dp数组如何初始化
在01背包，一维dp如何初始化，已经讲过，

从dp[j]的定义来看，首先dp[0]一定是0。

如果题目给的价值都是正整数那么非0下标都初始化为0就可以了，如果题目给的价值有负数，那么非0下标就要初始化为负无穷。

这样才能让dp数组在递推的过程中取得最大的价值，而不是被初始值覆盖了。

本题题目中 只包含正整数的非空数组，所以非0下标的元素初始化为0就可以了。

代码如下：

// 题目中说：每个数组中的元素不会超过 100，数组的大小不会超过 200
// 总和不会大于20000，背包最大只需要其中一半，所以10001大小就可以了
vector dp(10001, 0);
4.确定遍历顺序
在动态规划：关于01背包问题，你该了解这些！（滚动数组） (opens new window)中就已经说明：如果使用一维dp数组，物品遍历的for循环放在外层，遍历背包的for循环放在内层，且内层for循环倒序遍历！

代码如下：

// 开始 01背包
for(int i = 0; i < nums.size(); i++) {
for(int j = target; j >= nums[i]; j–) { // 每一个元素一定是不可重复放入，所以从大到小遍历
dp[j] = max(dp[j], dp[j - nums[i]] + nums[i]);
}
}
5.举例推导dp数组
dp[j]的数值一定是小于等于j的。

如果dp[j] == j 说明，集合中的子集总和正好可以凑成总和j，理解这一点很重要。

用例1，输入[1,5,11,5] 为例，如图：

416.分割等和子集2

最后dp[11] == 11，说明可以将这个数组分割成两个子集，使得两个子集的元素和相等。

class Solution {
    public boolean canPartition(int[] nums) {
        if(nums == null || nums.length == 0) return false;
        int target=0;
     for(int i=0;i<nums.length;i++){
         target+=nums[i];
     } 
    if(target% 2 != 0) return false;
    target=target/2;
     int[] dp= new int[target+1];
     for(int i=0;i<nums.length;i++){
        for(int j=target;j>=nums[i];j--){
 
                dp[j]=Math.max(dp[j],dp[j-nums[i]]+nums[i]);
            
        }
         if(dp[target]==target) return true;
     }

     return false;
    }
}

收获：

本次对于dp[j]所代表的含义有点偏差，此时背包的数量和物体的重量是一致的，dp[j]的意思是放入物品后之后容量为j的背包之中，含有多少重量。