蓝桥杯阶乘约数

最新推荐文章于 2023-04-03 10:17:12 发布

WananRd

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分类专栏： # 蓝桥杯

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该程序通过分解2到100之间的所有数字为质因数，然后利用数学公式计算100!的约数总数。通过遍历质数并记录每个质数在分解过程中的出现次数，最后将每个质因数次数加1后相乘得到约数个数。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

问题描述

定义阶乘 n! = 1 × 2 × 3 × · · · × n。
请问 100! （100 的阶乘）有多少个约数。

数学

有一个数学公式：

任意一个正整数X都可以表示成若干质数乘积的形式：
即 X = p1^α1 ∗ p2^α2 …… ∗ pk^αk

因而可以将2~100分解成若干质数

最后将所有质数可以组合出的数累加起来。
sum = (n1+1) ∗ (n2+1) ∗ …… ∗ (n99 + 1);

#include<iostream>
#include<cmath>
#include<vector>
using namespace std;

vector<int> a;//放入所有质数
int n[100];//记录每一个质数的数量

int gcd(int num){
    if(num <=  1){
        return false;
    }
    if(num == 2){
        return true;
    }
    int flag = 1;
    for(int i = 2; i <= sqrt(num); i ++){
        if(num % i == 0){
            return false;
        }
    }
    return flag;
}

int main()
{
    for(int i = 2; i <= 100; i ++){//查找2~100中所有的质数
        if(gcd(i) == true){
            a.push_back(i);
        }
    } 

    int len = a.size();
    for(int i = 2; i <= 100; i ++){//将2~100的数分解成质数
        int t = i;
        for(int j = 0; j < len; j ++){
            if(t % a[j] == 0 && t != 1){
                n[a[j]] ++;
                t /= a[j];
            }
        }
    }

    long long res = 1;
    for(int i = 1; i <= 99; i ++){//计算出所有情况
        res = res * (n[i] + 1);
    }

    cout << res << endl;
    return 0;
}