二分查找：原理、循环不变量与边界处理

二分查找中未找到元素时的结果分析

在二分查找算法中，如果没有找到目标元素，最终 i 的位置将会是：目标元素应该插入的位置。
具体来说：

1. 如果目标元素比数组中所有元素都小，i 会等于 0（表示应该插入到数组最前面）
2. 如果目标元素比数组中所有元素都大，i 会等于数组长度（表示应该插入到数组最后面）
3. 如果目标元素的值在数组中的两个元素之间，i 会指向第一个大于目标元素的位置

代码示例展示了这三种情况：

int binarySearch(const vector<int>& arr, int target) {
    int left = 0;
    int right = arr.size() - 1;
    
    while (left <= right) {
        int mid = left + (right - left) / 2;
        
        if (arr[mid] == target) {
            return mid;
        } else if (arr[mid] < target) {
            left = mid + 1;
        } else {
            right = mid - 1;
        }
    }
    
    return left;
}

循环不变量理解

循环不变量定义

对于二分查找而言，循环不变量如下：

在每次循环开始时，如果目标值 target 在数组中存在，则它必定在区间 [left, right] 内；如果不存在，则 target 应该插入的位置要么在 [left, right] 内，要么就是 left（即 right+1）。

循环不变量分析

初始化

• 初始时，left = 0，right = arr.size() - 1，搜索范围覆盖整个数组
• 循环不变量成立：如果 target 存在，它必在区间内；如果不存在，插入位置也必在此区间内或紧接其后
  

循环过程中的维护

在每次迭代中：

1. 查找中间元素 mid = left + (right - left) / 2
2. 比较 arr[mid] 与 target
   • 若 arr[mid] == target：找到目标，返回 mid
   • 若 arr[mid] < target：更新 left = mid + 1，缩小搜索区间
   • 若 arr[mid] > target：更新 right = mid - 1，缩小搜索区间
3. 每次更新后，循环不变量仍然成立

循环终止条件

• 循环在 left > right 时终止
• 此时 left = right + 1
• left 指向的位置即为 target 应插入的位置

三种特殊情况分析

1. 目标元素比所有元素都小

• 循环中不断执行 right = mid - 1
• 最终 right = -1，left = 0
• left 指向数组首位，正是插入位置

2. 目标元素比所有元素都大

• 循环中不断执行 left = mid + 1
• 最终 left = arr.size()，right = arr.size() - 1
• left 指向数组末尾后一位，正是插入位置

3. 目标元素在两个元素之间

• 假设存在 i 使得 arr[i] < target < arr[i+1]
• 循环结束时 left = i+1，right = i
• left 指向第一个大于 target 的位置，正是插入位置

二分查找中的边界处理技巧

1. 搜索区间的定义方式

二分查找有两种常见的搜索区间定义：

闭区间 [left, right]

while (left <= right) { // 使用 <= 
    // ...
    if (nums[mid] < target) {
        left = mid + 1;
    } else {
        right = mid - 1;
    }
}

左闭右开区间 [left, right)

while (left < right) { // 使用 <
    // ...
    if (nums[mid] < target) {
        left = mid + 1;
    } else {
        right = mid; // 注意这里是 mid
    }
}

2. 中间位置的安全计算

避免整数溢出：

// 推荐方式：
int mid = left + (right - left) / 2;

// 不推荐：可能溢出
// int mid = (left + right) / 2;

3. 查找目标值的边界

查找第一个等于目标值的元素

int findFirstEqual(vector<int>& nums, int target) {
    int left = 0, right = nums.size() - 1, result = -1;
    
    while (left <= right) {
        int mid = left + (right - left) / 2;
        
        if (nums[mid] == target) {
            result = mid;      // 记录当前位置
            right = mid - 1;   // 继续向左寻找
        } else if (nums[mid] < target) {
            left = mid + 1;
        } else {
            right = mid - 1;
        }
    }
    
    return result;
}

查找最后一个等于目标值的元素

int findLastEqual(vector<int>& nums, int target) {
    int left = 0, right = nums.size() - 1, result = -1;
    
    while (left <= right) {
        int mid = left + (right - left) / 2;
        
        if (nums[mid] == target) {
            result = mid;      // 记录当前位置
            left = mid + 1;    // 继续向右寻找
        } else if (nums[mid] < target) {
            left = mid + 1;
        } else {
            right = mid - 1;
        }
    }
    
    return result;
}

4. 下界与上界查找

下界（第一个大于等于目标值的元素）

int lowerBound(vector<int>& nums, int target) {
    int left = 0, right = nums.size() - 1;
    
    while (left <= right) {
        int mid = left + (right - left) / 2;
        
        if (nums[mid] >= target) {
            right = mid - 1;
        } else {
            left = mid + 1;
        }
    }
    
    return left;
}

上界（第一个大于目标值的元素）

int upperBound(vector<int>& nums, int target) {
    int left = 0, right = nums.size() - 1;
    
    while (left <= right) {
        int mid = left + (right - left) / 2;
        
        if (nums[mid] > target) {
            right = mid - 1;
        } else {
            left = mid + 1;
        }
    }
    
    return left;
}

5. 常见错误与边界测试

1. 循环条件与区间定义匹配

   • 闭区间 [left, right] 使用 left <= right
   • 左闭右开区间 [left, right) 使用 left < right

2. 边界更新的一致性

   • 闭区间：left = mid + 1 和 right = mid - 1
   • 左闭右开：left = mid + 1 和 right = mid

3. 边界测试用例

   • 空数组
   • 目标值小于所有元素
   • 目标值大于所有元素
   • 目标值等于某些元素（包括首尾元素）
   • 目标值在元素之间
   • 数组只有一个元素的情况

4. 循环终止条件理解

   • 闭区间方式终止时：left = right + 1
   • 左闭右开方式终止时：left = right

应用场景

• 在有序数组中查找特定元素
• 查找插入位置（如 C++ 的 lower_bound/upper_bound）
• 解决"猜数字"类问题（在某个范围内猜测一个符合条件的数）
• 在旋转排序数组中查找元素
• 查找峰值元素
• 矩阵中的二分查找