《通信原理》第2章(确知信号)学习笔记

第 2 章 确知信号

2.1 确知信号的类型

• 确知信号：其取值在任何时间都是确定的和可预知的信号，通常可以用数学公式表示它在任何时间的取值

• 分类（按照是否具有周期重复性）

  • 周期信号
  • 非周期信号

• 周期信号

  在数学上，若信号s(t)满足下述条件：
  $$\begin{gathered} s(t)=s(t+T_0)-\infty <t<\infty \\ 式中T_0>0，为一常数，则称此信号为周期信号，否则为非周期信号， \\ 并将满足条件的最小T_0称为此信号的周期，将1/T_0称为基频f_0 \end{gathered}$$

• 分类（按照能量是否有限区分）

  • 能量信号
  • 功率信号

• 信号功率

  在通信理论中，通常把信号功率定义为电流在单位电阻（1Ω）上消耗的功率，即归一化功率P
  $$\begin{gathered} P=V^2/R=I^{2}R=V^2=I^2(W) \\ 式中：V为电压(V);I为电流(A) \end{gathered}$$
  可以认为，信号电流 I 或电压 V 的平方都等于功率。一般化为用S代表信号的电流或电压来计算信号功率。若信号电压和电流的值随时间变化，则S可以改写为时间 t 的函数 s(t)。故s(t)代表信号电压或电流的时间波形。这时，信号能量 E 应当是信号瞬时功率的积分：
  $$\begin{gathered} E={\int }_{-\infty }^{\infty }{s}^2(t)dt \\ 其中，E的单位是焦耳(J) \end{gathered}$$
  若信号的能量是一个正的有限值，即

  $$0<E={\int }_{-\infty }^{\infty }{s}^2(t)dt<\infty$$
  则称此信号为能量信号

  信号的平均功率定义为
  $$P=\underset{T\to \infty }{\lim }\frac{1}{T}{\int }_{-T/2}^{T/2}{s}^2(t)dt$$
  能量信号的平均功率P=0，因为若信号的能量有限，则在被趋于无穷大的时间T去除后，所得平均功率趋近于零

  功率信号：信号平均功率是一个有限的正值，但是其能量近似等于无穷大

  总结：信号可以分成两类

  • 能量信号，其能量等于一个有限正值，但平均功率为零
  • 功率信号，其平均功率等于一个有限正值，但能量为无穷大

  能量信号和功率信号的分类对于非确知信号也适用

2.2 确知信号的频域性质

信号的频域特性

• 功率信号的频谱
• 能量信号的频谱密度
• 能量信号的能量谱密度
• 功率信号的功率谱密度

2.2.1 功率信号的频谱

• 频谱函数
  $$\begin{gathered} 周期性功率信号s(t)的周期为T_0 \\ {C}_n=C(n{f}_0)=\frac{1}{T_0}{\int }_{-T_0/2}^{T_0/2}s(t)e^{-j2\pi n{f}_{0}t}dt \\ 式中：f_0=1/T_0;n为整数，-\infty <n<+\infty ;C(n{f}_0)表示C是n{f}_0的函数，并简记为C_n \\ {C}_n=|C_n|e^{j{\theta }_n} \\ 式中：|C_n|为频率n{f}_0的信号分量的振幅；{\theta }_n为频率n{f}_0的信号分量的相位 \\ s(t)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{C}_n{e}^{j2\pi nt/T_0} \end{gathered}$$

• 直流分量
  $$\begin{gathered} 当n=0时， \\ {C}_0=\frac{1}{T_0}{\int }_{-T_0/2}^{T_o/2}s(t)dt \end{gathered}$$
  它是信号s(t)的时间平均值，即直流分量

• 物理上实信号的频谱和数学上的频谱函数之间的关系
  $$C_{-n}=\frac{1}{T_0}{\int }_{-T_0/2}^{T_0/2}s(t)e^{+j2\pi n{f}_{0}t}dt=[\frac{1}{T_0}{\int }_{-T_0/2}^{T_0/2}s(t)e^{-j2\pi n{f}_{0}t}dt{]}^{\ast }=C_n^{\ast }$$
  即频谱函数的正频率部分和负频率部分间存在复数共轭关系。负频率和正频率的模是偶对称的，相位是奇对称的

2.2.2 能量信号的频谱密度

• 频谱密度

  设一个能量信号为s(t)，则将它的傅里叶变换S(f)定义为它的频谱密度：
  $$S(f)={\int }_{-\infty }^{\infty }s(t)e^{-j2\pi ft}dt$$
  而S(f)的逆傅里叶变换就是原信号：
  $$s(t)={\int }_{-\infty }^{\infty }S(f)e^{j2\pi ft}df$$

• 能量信号的频谱密度S(f)和周期性功率信号的频谱Cn的主要区别

  • S(f)是连续谱，Cn是离散谱
  • S(f)的单位是伏/赫(V/Hz)，而Cn的单位是伏(V)

• 实能量信号的频谱密度和实功率信号的频谱的共同特性

  • 其负频谱和正频谱的模偶对称，相位奇对称
  • 或者说，其频谱密度的正频率部分和负频率部分成复数共轭关系

2.2.3 能量信号的能量谱密度

• 能量

  设一个能量信号s(t)的能量为E，则此信号的能量为
  $$E={\int }_{-\infty }^{\infty }{s}^2(t)dt$$

• 能量谱密度

  若此信号的傅里叶变换（频谱密度）为S(f)，则由巴塞伐尔定理得知
  $$\begin{gathered} E={\int }_{-\infty }^{\infty }{s}^2(t)dt={\int }_{-\infty }^{\infty }|S(f){|}^{2}df \\ 表示|S(f){|}^2在频率轴f上的积分等于信号能量，所以称|S(f){|}^2为能量谱密度， \\ 它表示在频率f处宽度为df的频带内的信号能量，或者也可以看作是单位频带内的信号能量。 \\ 可以改写为 \\ E={\int }_{-\infty }^{\infty }G(f)df \\ 式中 \\ G(f)=|S(f){|}^2(J/Hz) \\ 为能量谱密度 \\ 由于信号s(t)是一个实函数，所以|S(f)|是一个偶函数。因此， \\ E=2{\int }_0^{\infty }G(f)df \end{gathered}$$

2.2.4 功率信号的功率谱密度

• 功率谱密度 P(f)
  $$P(f)=\underset{T\to \infty }{\lim }\frac{1}{T}|S_T(f){|}^2$$

• 信号功率
  $$P=\underset{T\to \infty }{\lim }\frac{1}{T}{\int }_{-\infty }^{\infty }|S_T(f){|}^{2}df={\int }_{-\infty }^{\infty }P(f)df$$
  若此功率信号具有周期性，则可以将T选作等于信号周期T0，并且用傅里叶级数代替傅里叶变换，求出信号的频谱。这时，
  $$P=\underset{T\to \infty }{\lim }\frac{1}{T}{\int }_{-T/2}^{T/2}{s}^2(t)dt=\frac{1}{T_0}{\int }_{-T_0/2}^{T_0/2}{s}^2(t)dt$$
  并且由周期函数的巴塞伐尔定理得知
  $$\begin{gathered} P=\frac{1}{T_0}{\int }_{-T_0/2}^{T_o/2}{s}^2(t)dt=\sum _{n=-\infty }^{\infty }|C_n{|}^2 \\ 式中：C_n为此周期信号的傅里叶级数的系数 \\ P={\int }_{-\infty }^{\infty }\sum _{n=-\infty }^{\infty }|C(f){|}^2\delta (f-n{f}_0)df \\ 式中 \\ C(f)=\{\begin{array}{l}{C}_{n}f=n{f}_0\\ 0其他\end{array} \end{gathered}$$

2.3 确知信号的时域性质

2.3.1 能量信号的自相关函数

• 能量信号s(t)的自相关函数的定义为
  $$R(\tau )={\int }_{-\infty }^{\infty }s(t)s(t+\tau )dt-\infty <\tau <\infty$$
  自相关函数反映了一个信号与延迟 $\tau$​​​ 后的同一信号间的相关程度。自相关函数R($\tau$)和时间t无关，只和时间差$\tau$有关。当 $\tau$ = 0 时，能量信号的自相关函数R(0)等于信号的能量，即
  $$R(0)={\int }_{-\infty }^{\infty }{s}^2(t)dt=E$$
  式中：E为能量信号的能量

  此外，R($\tau$)是 $\tau$ 的偶函数，即
  $$R(\tau )=R(-\tau )$$

• 能量信号的自相关函数的傅里叶变换就是其能量谱密度。反之，能量信号的能量谱密度的逆傅里叶变换就是能量信号的自相关函数，即
  $$R(\tau )={\int }_{-\infty }^{\infty }|S(f){|}^2{e}^{j2\pi f\tau }df$$
  $R(\tau )和|S(f){|}^2$ 构成一对傅里叶变换

2.3.2 功率信号的自相关函数

• 功率信号s(t)的自相关函数的定义为
  $$R(\tau )=\underset{T\to \infty }{\lim }\frac{1}{T}{\int }_{-T/2}^{T/2}s(t)s(t+\tau )dt-\infty <\tau <\infty$$
  当 $\tau =0$ 时，功率信号的自相关函数R(0)等于信号的平均功率，即
  $$R(0)=\underset{T\to \infty }{\lim }\frac{1}{T}{\int }_{-T/2}^{T/2}{s}^2(t)dt=P$$
  式中：P为信号的功率

  功率信号的自相关函数也是偶函数

  对于周期性功率信号，自相关函数的定义可以改写为
  $$R(\tau )=\frac{1}{T_0}{\int }_{-T_0/2}^{T_0/2}s(t)s(t+\tau )dt-\infty <\tau <\infty$$

• 周期性功率信号的自相关函数 $R(\tau )$ 和其功率谱密度 P(f)之间是傅里叶变换关系，即P(f)的逆傅里叶变换是 $R(\tau )$ ，而 $R(\tau )$ 的傅里叶变换是功率谱密度，即
  $$P(f)={\int }_{-\infty }^{\infty }R(\tau )e^{-j2\pi f\tau }d\tau$$

2.3.3 能量信号的互相关函数

• 两个能量信号 $s_1(t)$ 和 $s_2(t)$ 的互相关函数的定义为
  $$R_{12}(\tau )={\int }_{-\infty }^{\infty }{s}_1(t)s_2(t+\tau )dt-\infty <\tau <\infty$$

• 互相关函数反映了一个信号和延迟 $\tau$​ 后的另一个信号间相关的程度。

• 互相关函数 $R_{12}(\tau )$ 和时间 $\tau$ 无关，只和时间差 $\tau$ 有关。、

• 互相关函数和两个信号相乘的前后次序有关，即有
  $$R_{21}(\tau )=R_{12}(-\tau )$$

• 互相关函数和互能量谱密度也是一对傅里叶变换
  $$\begin{gathered} R_{12}(\tau )={\int }_{-\infty }^{\infty }{S}_{12}(f)e^{j2\pi f\tau }df \\ {S}_{12}(f)={\int }_{-\infty }^{\infty }{R}_{12}(\tau )e^{-j2\pi f\tau }d\tau \end{gathered}$$
  式中：$S_{12}=S_1^{\ast }(f)S_2(f)$，称为互能量谱密度

2.3.4 功率信号的互相关函数

• 两个功率信号 $s_1(t)$ 和 $s_2(t)$ 的互相关函数的定义为
  $$R_{12}(\tau )=\underset{T\to \infty }{\lim }\frac{1}{T}{\int }_{-T/2}^{T/2}{s}_1(t)s_2(t+\tau )dt-\infty <\tau <\infty$$

• 功率信号的互相关函数 $R_{12}(\tau )$ 也和时间 t 无关，只和时间差 $\tau$ 有关，并且互相关函数和两个信号相乘的前后次序有关
  $$R_{21}(\tau )=R_{12}(-\tau )-\infty <\tau <\infty$$

• 若两个周期性功率信号的周期相同，则其互相关函数的定义可以写为
  $$R_{12}(\tau )=\frac{1}{T}{\int }_{-T/2}^{T/2}{s}_1(t)s_2(t+\tau )dt-\infty <\tau <\infty$$
  式中：T为信号的周期

• 周期性功率信号的互功率谱 $C_{12}$ 是其互相关函数 $R_{12}(\tau )$ 的傅里叶级数的系数
  $$R_{12}(\tau )=\sum _{n=-\infty }^{\infty }[C_{12}]e^{j2\pi n{f}_0\tau }$$
  式中：$C_{12}=(C_n{)}_1^{\ast }(C_n{)}_2$ ，称为信号的互功率谱
  $$R_{12}(\tau )=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\int }_{-\infty }^{\infty }{C}_{12}(f)\delta (f-n{f}_0)e^{j2\pi n{f}_0\tau }df$$
  式中：${\int }_{-\infty }^{\infty }{C}_{12}(f)\delta (f-n{f}_0)df=C_{12}=(C_n{)}_1^{\ast }(C_n{)}_2$