算法笔记-堆相关、堆的定义、大小根堆、算法程序实现、堆的算法题、C#写法

内容概述

1，堆结构就是用数组实现的完全二叉树结构
2，完全二叉树中如果每棵子树的最大值都在顶部就是大根堆
3，完全二叉树中如果每棵子树的最小值都在顶部就是小根堆
4，堆结构的heaplnsert与heapify操作
5，堆结构的增大和减少
6，优先级队列结构，就是堆结构

1. 堆的定义

首先需要明确的是，堆是完全二叉树,完全二叉树不一定是堆（因为堆一定是排好序的【大根或者小跟】，完全二叉树就不一定了，不一定是堆）

这里有一篇文章，对堆描述的非常好【点击此处】

我们需要知道的是，堆是有大根堆和小根堆的，只有这两种特殊的完全二叉树才能称为堆

大根堆是指，每个根节点一定比其子节点大；小根堆是指，每个根节点一定比其子节点小
比方：

这个就是大根堆

根据这个特性，我们可以很快的拿到最大值或者最小值（均在根节点处）

但是，大根堆或者小根堆的数组，不一定是已经有序的，想变成有序的数组，还需要继续堆排序

2. 堆的数学属性

i是数组的某元素下标，现在需要知道该元素在堆中的父叶或者左子叶、右子叶的位置

父叶：parent(i) = (i - 1)/2
左子叶：left(i) = 2i + 1
右子叶：right(i) = 2i + 2

这是用的最多的堆的数学属性

3. 大根堆的插入

如果需要在一个大根堆里插入一个数，让其继续变成大根堆，应该怎么实现呢？
这就是HeapInsert过程

HeapInsert过程
当往一个大根堆里放入数的时候，先通过公式父叶：parent(i) = (i - 1)/2找到该元素对应的父节点，然后将该元素与父叶比较，如果该元素大，则与父元素交换（后面如果又比该父叶的父叶大，则继续交换）；如果父元素大，则该元素不掉换位置

程序：

public static void HeapInsert(int[] arr, int index)
        {
   
        //判断插入的元素与其父叶的大小，大则交换
            while (arr[index] > arr[(index - 1) / 2])
            {
   
                Swap(arr, index, (index - 1) / 2);//交换元素的自定义方法
                index = (index - 1) / 2;//下标换为其父叶坐标，继续判定
            }
        }

4. 大根堆的取元素

因为堆的根节点要么最大，要么最小，经常需要取出其元素的值，然后重新排序成大根堆的结构，这个过程叫做Heapify

Heapify过程：
在某个堆中，取出某根节点（父叶），方法是将该元素与堆数组中最后一个元素互换后，比较交换后元素与根节点的左、右节点的最大值比较，叶大，则与叶交换；叶小，则不变

程序：

//取大根堆的某一元素后，把剩下的元素依然组成大根堆
//方法中的参数含义：arr-数组；index-已经交换后的元素下标；size-数组的长度
        public static void Heapity(int[] arr, int index, int size)
        {
   
        	//左子叶的下标
            int left = index * 2 + 1;
            //如果该父叶的左子叶存在，那么继续，不存在就跳出
            while (left < size)
            {
   
            	//右子叶存在，且找出左、右子叶的最大值的下标
                int largest = left + 1 < size && arr[left + 1] > arr[left] ? left + 1 : left;
                //将该下标对应的元素与父子叶对应的元素比较大小，当该下标对应的元素大于父子叶对应的元素时，交换元素
                argest = arr[largest] > arr[index] ? largest : index;
                //当该下标对应的元素小于或者等于父子叶对应的元素时，跳出循环
                if (largest == index)
                {
   
                    break;
                }
                //交换父子叶元素与最大值子叶下标元素的值
                Swap(arr, largest, index);
                //继续判断，此时的index下标变成刚刚的最大的子叶元素下标
                index = largest;
                //重新给左子叶赋值
                left = index * 2 +