53. 最大子数组和

题目：

给你一个整数数组 nums ，请你找出一个具有最大和的连续子数组（子数组最少包含一个元素），返回其最大和。

子数组 是数组中的一个连续部分。

示例 1：
输入：nums = [-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4]
输出：6
解释：连续子数组 [4,-1,2,1] 的和最大，为 6 。

示例 2：
输入：nums = [1]
输出：1

示例 3：
输入：nums = [5,4,-1,7,8]
输出：23
 

提示：
1 <= nums.length <= 105
-104 <= nums[i] <= 104

来源：力扣（LeetCode）
链接：https://leetcode-cn.com/problems/maximum-subarray

答案：

采用动态规划方法，根据贝尔曼的最优性原理，最优路径上从起点到任意中间点都是最优的，因此下一步是基于上一步，因此状态转移方程为f[i+1]=max(f[i]+nums[i+1],nums[i+1])。换句话说，如果之前的最优解是负数，那还不如都不要；如果之前最优解是正数，那一定要留着。这种思想在实际过程中看起来是滚动数组。

//哪个大返回哪个,由于没有0,因此不存在一样的情况
int findmax(int a, int b) {
    return a>b?a:b;
}

int maxSubArray(int* nums, int numsSize){
    int i,max,f[numsSize];//f数组用来存储每一步的最优解
    for (i=0;i<numsSize;i++) {
        if (i==0){//第0步要特殊考虑,因为答案至少选一个,因此不得不选
            f[i]=nums[i];
            max=f[i];
        } else {//第0步之后就是看上一步最优解是否是正的贡献,是就留着
            f[i]=findmax(f[i-1]+nums[i],nums[i]);
            max=findmax(max,f[i]);//如果新的最优解大于之前max则替代
        }
    }
    return max;
}

//官方解答更加巧妙，因为观察到下一项仅和上一项有关，所以数组都省了。
//但是这对于一般的动态规划问题并不一定成立。
// int maxSubArray(int* nums, int numsSize) {
//     int pre = 0, maxAns = nums[0];
//     for (int i = 0; i < numsSize; i++) {
//         pre = fmax(pre + nums[i], nums[i]);
//         maxAns = fmax(maxAns, pre);
//     }
//     return maxAns;
// }