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15 单因子利率模型蒙卡模拟15.1 简介15.1.1 单因子模型蒙卡抽样15.1.2 由抽样结果计算债券期权价格15.2 蒙卡模拟步骤15.2.1 蒙卡抽样利率变化路径15.2.2 计算零息债券期权价格15.3 步骤Python代码实现15.4 计算示例15.5 参考资料 15.1 简介 15.1.1 单因子模型蒙卡抽样        在单因子模型下，瞬时无风险利率的变化过程为dr(t)=(θ(t)−ar(t))dt+σdz

14 Hull-White单因子利率模型三叉树14.1 简介14.1.1 Hull-White 单因子模型14.1.2 三叉树利率树形14.1.3 零息债券期权14.2 生成树形和计算零息债券期权价格步骤14.2.1 生成利率三叉树14.2.2 计算零息债券期权价格14.3 步骤Python代码实现14.4 计算示例14.5 参考资料 14.1 简介 14.1.1 Hull-White单因子模型        Hull-Whi

13 GARCH估计日方差率13.1 简介13.2 GARCH估计日方差率步骤13.3 计算步骤Python代码实现13.4 计算示例13.5 参考资料 13.1 简介        广义自回归条件异方差（Generalized Auto-Regressive Conditional Heteroscedasticity, GARCH)模型是由Bollerslev在1986年提出的一种估计市场变量日方差率的模型。对于广义的GARCH(p,q)模型，

第12节 EWMA估计日波动率12.1 简介12.2 EWMA估计波动率算法12.3 算法Python代码实现12.4 计算示例12.5 参考资料 12.1 简介EWMA模型        考虑一市场变量，如股票，我们有其从第0天至第NNN天每天末的数据S0,S1,...,SNS_0, S_1, ..., S_NS0​,S1​,...,SN​。定义σn\sigma_nσn​ 为于第n−1n-1n−1天末所估计的市场变量在第nnn天的波动率，σn2\

第11节 隐式有限差分法计算期权价格11.1 简介11.2 计算美式看跌期权价格算法11.3 算法Python代码实现11.4 参考资料 11.1 简介       我们这里也以美式看跌期权为例。类似显示有限差分法，我们也先将微分方程表示为差分形式。只是这时∂f∂t(i,j)\frac{\partial f}{\partial t}(i,j)∂t∂f​(i,j)的表示是向前近似。首先同样的，我们让ΔS=SmaxM,  Δt=TN,  Smax=3S

第10节 显示有限差分法计算期权价格10.1 简介10.2 计算美式看跌期权价格算法10.3 算法Python代码实现10.4 参考资料 10.1 简介有限差分法\bf有限差分法有限差分法        将微分方程表示为定义在离散的格点上的差分方程，由给定的边界条件通过相近格点间的差分关系迭代计算出未知边界上的数值。显式和隐式差分法的区别主要在于替代计算微分方程的差分方程中对微分项的离散化近似表示不同（主要是∂f∂t\frac{\partial f

第9节 蒙卡模拟计算美式期权价格(b)9.1 简介9.2 参数化执行边界算法9.3 算法Python代码实现9.4 计算示例9.5 参考资料 9.1 简介       使用蒙卡模拟计算美式期权价格除了最小二乘法之外，我们也可以使用参数化执行边界的方法，同样由于简单美式看涨期权不会被提前行使，我们这里只考虑美式看跌期权。参数化执行边界是指假设在任一时刻都存在一个执行股价，当股价低于该价格时我们执行期权。 9.2 参数化执行边界算法根据给定参数确

第8节 蒙卡模拟计算美式期权价格(a)8.1 简介8.2 最小二乘法计算美式期权价格8.3 算法Python代码实现8.4 计算示例8.5 相关说明8.5.1 美式看涨期权不会被提前行使8.5.2 最小二乘法线性回归拟合期权价格8.6 参考资料 8.1 简介       美式期权的持有者可以在期权有效期内任意时刻选择执行期权。如果直接通过蒙特卡罗方法模拟股票变化路径，由于在路径中并不知道当前股价对应的美式期权价格，所以无法判断应不应该执

第7节 蒙卡模拟计算路径依赖型期权价格7.1 简介7.2 蒙卡模拟计算回望/亚式期权算法7.3 算法 Python 代码实现7.4 计算示例7.5 相关说明7.5.1 由均匀分布产生正态分布随机数7.5.2 蒙卡模拟结果与解析解比较7.6 参考资料 7.1 简介       蒙特卡罗模拟计算期权价格是将股票价格变化过程离散化，通过随机数产生器对每一小段股价变化进行抽样，累计得到一次股价变化过程抽样结果，然后计算出对应的期权价格。进行多次

第6节 蒙特卡罗模拟计算欧式期权价格6.1 简介6.2 蒙卡模拟计算欧式期权价格算法6.3 算法 Python 代码实现6.4 计算示例6.5 相关说明6.5.1 股价变化离散化方式6.5.2 期权价格标准差6.5.3 离散化点数NNN的选取 6.1 简介蒙特卡罗模拟       蒙特卡罗模拟是一种通过简单的随机抽样来模拟一个随机实验或者随机过程的方法。它主要包括三个部分：基本的随机数产生器。一般情况下我们可以直接使用编程语言常

第5节 树形计算亚式期权价格5.1 简介5.2 树形计算亚式期权价格算法5.3 计算算法Python代码实现（平均价格看涨期权）5.4 计算例子5.5 相关说明5.5.1 历史平均股价的极大和极小值5.5.2 期权价格的递推 5.1 简介亚式期权       亚式期权的价格由股票价格在期权有效期内的平均价格决定。特别地，对亚式平均价格看涨期权，在执行时刻期权价格为max⁡(Save−K,0)\max(S_{ave}-K, 0)max

第4节 树形计算可转换债券价格4.1 简介4.2 计算可转换债券价格算法4.3 Python代码实现计算4.4 计算示例 4.1 简介       可转换债券是一种由公司发行的债券。此种债券的持有者在债券有效期内有权利将债券转换成一定数量的该公司的股票，一个单位的债券可转换的股票的数量为转换率。同时这种债券在有效期内一般都是可以被公司以一定价格赎回的，赎回一单位该债券的价格为赎回价。如果公司将要赎回债券，债券的持有者可以选择将债券转换为股票，即债券

第3节 树形计算回望期权价格3.1 简介3.2 数值计算算法3.3 计算过程 Python 代码实现3.4 相关说明3.4.1 计算例子3.4.2 节点历史最低股票价格的计算3.4.3 期权价格的递推 3.1 简介回望式期权       回望期权是一种价格依赖于股票历史价格极值的期权。如果回望期权为只能在到期日执行的欧式回望期权，其价格有解析解。不过这里我们主要使用二叉树法对回望期权当前价格进行数值计算。   

第2节 二叉树计算欧式和美式期权价格2.1 简介2.2 二叉树计算期权价格算法2.3 计算过程 Python 代码实现2.4 相关说明2.4.1 计算例子 1.1 简介       考虑期权为股票期权，二叉树是指股票价格在期限内可能的变化路径的图形。考虑时间段为0至T，对于步数为N的二叉树，在t=0,  Δt,...,(N−1)Δtt=0,\; \Delta t, ...,(N-1)\Delta tt=0,Δt,...,(N−1)Δt

第1节 欧式期权价格1.1 简介1.2 Python 代码实现计算1.3 细节说明1.3.1 参数说明1.3.2 价格和价值1.3.3 正态分布累计概率函数N(x)N(x)N(x)1.3.4 欧式期权的看跌-看涨平价关系1.3.5 计算中使用无风险利率rrr而不是资产预期收益率μ\muμ1.1 简介       考虑期权对应的资产价格为S(t)S(t)S(t), 记为SSS，它的变化过程为几何布朗运动,dSS=μdt+σdz