状压dp入门题 《P1896 [SCOI2005]互不侵犯》

P1896 [SCOI2005]互不侵犯

原题戳我qwq

题目描述

在N×N的棋盘里面放K个国王，使他们互不攻击，共有多少种摆放方案。国王能攻击到它上下左右，以及左上左下右上右下八个方向上附近的各一个格子，共8个格子。

输入格式

只有一行，包含两个数N，K （ 1 <=N <=9, 0 <= K <= N * N）

输出格式

所得方案数

样例：

输出：

3 2

输入：

16

状态压缩动态规划 俗称 $状压dp$。
状态压缩通常采用二进制来表示状态和运行，
以十进制的方式储存数据。

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比如：（0代表土地贫瘠，1代表土地肥沃）
$13（10）\to \to \to 1101（2）$
我们可以得知哪些区域属于贫瘠土地或肥沃土地。
这便是状态压缩。

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讲到二进制，就不得不讲一下位运算了，
因为一般涉及到状压dp，位运算是绝对少不了的。
关于位运算，大家可以去这个博客看一看↓
戳我戳我

下面正式进入正题 ！！！
先定义变量：

long long dp[10][15000][80]; //dp[i][j][k]表示第i行，状态为j，前面摆了k个国王时的方案数； 
long long state[777777] , king[77777] ;//state[]是当前状态，king[]是当前行的国王数；
long long num;//状态总数
long long ans;//方案总数

预处理：

inline void inte() {
	int tot = (1<<N) - 1;//最多到这个时候，就是二进制下，每一位上都放上国王，当然有不空位行的，为了方便下文排除； 
	for (re int i = 0; i <= tot; i++) {
		if (!( (i<<1) & i)) {//因为要互不侵犯，所以，两个国王之间必须隔一个，这是判断是否满足题意国王之间不相互攻击； 
			state[ ++num ] = i;//找到了满足的，记录这个状态； 
			int t = i;
			while (t) {//判断这个状态有多少个国王，也就是t在二进制下有多少个1； 
			    king[ num ] += t % 2,//如果有余数，证明这里有一个国王 
				t >>= 1; //和t/=2一样，但是快一点 
		    }
		}
	}
	return;
}

代码注释讲的挺详细的，我直接上了
$Code:$

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define re register
using namespace std;
ll N, K, num, ans;//num是用来记录状态总数的，ans是用来计算一共有多少种方案的；
ll f[15][15005][105];//dp[i][j][k]表示第i行，状态为j，前面摆了k个国王时的方案数； 
ll state[777777], king[777777];//state[]是当前状态，king[]是当前行的国王数；
inline void inte() {
	int tot = (1<<N) - 1;//最多到这个时候，就是二进制下，每一位上都放上国王，当然有不空位行的，为了方便下文排除； 
	for (re int i = 0; i <= tot; i++) {
		if (!( (i<<1) & i)) {//因为要互不侵犯，所以，两个国王之间必须隔一个，这是判断是否满足题意国王之间不相互攻击； 
			state[ ++num ] = i;//找到了满足的，记录这个状态； 
			int t = i;
			while (t) {//判断这个状态有多少个国王，也就是t在二进制下有多少个1； 
			    king[ num ] += t % 2,//如果有余数，证明这里有一个国王 
				t >>= 1; //和t/=2一样，但是快一点 
		    }
		}
	}
	return;
}
int main() {
	scanf ("%lld%lld",&N, &K);
	inte();
	for (re int i = 1; i <= num; i++) {//预处理第一行 
		if (king[i] <= K){//国王放置数量肯定不能超过总数 
			f[1][i][king[i]] = 1; 
		}
	}
	for (re int i = 2; i <= N; i++) {
	    for (re int j = 1; j <= num; j++) {
	     	for (re int k = 1; k <= num; k++) {
			    if (state[j] & state[k]) continue; //上下不允许相邻 
			    if (state[j] & (state[k] << 1)) continue; //右上角不允许相邻 
				if ((state[j] << 1) & state[k]) continue; //左上角也不允许 
			    for (re int l = 1; l <= K; l++) {//s表示本行以上用了多少国王；  
			    	if (king[j] + l > K) continue;//如果超过了国王总数，那么不成立 
			    	f[i][j][king[j]+l] += f[i-1][k][l];//还记得dp[i][j][k]中的k表示已经用过的国王数，而king[]是本行的，s是本行以前的； 
	     		}
			 }
	    }
	}
	for (re int i = 1; i <= N; i++)
	    for (re int j = 1; j <= num; j++)
	        ans += f[i][j][K];
	printf ("%lld\n", ans);
	return 0;
}