堆的有关知识及STL用法

堆，一种数据结构，实际上是一棵完全二叉树，可以保证在正常添加、删除元素的同时，保证对于二叉树中的每个节点，其左右子节点的优先级均低于自身，这样，树根的元素的优先级永远最高。等价于一个优先级队列，在正常增删元素的情况下，保证队首元素永远是优先级最高的那一个。

堆的增添删除元素的时间复杂度均为O(logn)，而查询优先级最高元素的时间为O(n)。

什么是一棵完全二叉树呢？百度百科对其的描述如下：

一棵深度为k的有n个结点的二叉树，对树中的结点按从上至下、从左到右的顺序进行编号，如果编号为i（1≤i≤n）的结点与满二叉树中编号为i的结点在二叉树中的位置相同，则这棵二叉树称为完全二叉树。

 它有一个重要的性质：树中每个节点的位置可以与一个向量数组的下标一一对应。我们将根节点序号设置为1，那么对任一个编号为i的一个节点，它的父节点序号为i/2，而左子节点的序号为2i，右子节点的序号为2i+1 。正因如此，堆的内部数据结构可以用一个Vector存储数据。

那么，如何维护这样的一课树使得其满足要求呢？堆最重要的数据操作为增添/删除栈顶元素，分别如下进行：

1、元素的增添

首先，对于一个堆，我们默认它已经满足了堆的一切特性，即对于任意节点，其优先级均大于任意一个子节点的（对于子树中的任意一个节点都满足）。现在，我们在序列尾部插入一个新元素，堆的特性就被破坏了，如何对其进行维护呢？

首先，我们将末尾元素作为当前节点，并将其与父节点比较。若此时发生错序，即当前节点的优先级高于父节点，我们将其进行对换。以此类推，直到顺序正确或到达根节点。由于对于一棵节点数量为n的完全二叉树，其高度不会超过log2n，因此我们进行一次回溯所需的时间复杂度为O(logn)。

2、堆顶元素的删除

当我们删除堆顶元素时，缺省的元素操作起来较麻烦。因此一种更实际的做法是，我们将堆顶元素与最后一个元素交换，再将交换后的堆的最后一个元素删除。此时，堆顶元素的顺序被打乱，堆不能维持原来的性质，需要进行调整。我们将堆顶元素作为当前元素，并比较其与优先级最高的子节点的优先级大小（否则，若我们将该节点与优先级较小的子节点交换，那么优先级更大的那个节点将变为其优先级较小兄弟的子节点，依然不符合堆的性质），若发生乱序即当前节点的优先级更小，那么我们交换这两个节点，直到符合堆的性质或不存在子节点为止。同1，堆进行堆顶删除的时间复杂度为O(logn)。

3、堆（优先级队列）的STL接口

堆在stl中的名称为priority_queue，需要#include <queue>来进行引用。

其构造方法有两种

(1)priority_queue<T>，此时要求T存在比较运算符bool operator<(const T) const

(2)priority_queue<T,容器container(默认为vector<T>),比较函数cmp(默认为大顶堆,即less<T>,注意当改用小顶堆less<T>时，尖括号和结尾的尖括号需要加一个空格以防被识别为>>运算符) >

主要接口有push(x)插入元素，pop()删除堆顶元素，返回值为void，以及top()返回堆顶元素的值。