RSA算法笔记

概述

RSA公开密钥密码体制是一种使用不同的加密密钥与解密密钥，“由已知加密密钥推导出解密密钥在计算上是不可行的”密码体制。

它通常是先生成一对RSA密钥，其中之一是保密密钥，由用户保存；另一个为公开密钥，可对外公开，甚至可在网络服务器中注册。为提高保密强度，RSA密钥至少为500位长，一般推荐使用1024位。这就使加密的计算量很大。为减少计算量，在传送信息时，常采用传统加密方法与公开密钥加密方法相结合的方式，即信息采用改进的DES或IDEA对话密钥加密，然后使用RSA密钥加密对话密钥和信息摘要。对方收到信息后，用不同的密钥解密并可核对信息摘要。

RSA允许你选择公钥的大小。512位的密钥被视为不安全的；768位的密钥不用担心受到除了国家安全管理（NSA）外的其他事物的危害；1024位的密钥几乎是安全的。

                                   ——上述描述摘自 百度百科

密钥计算方法

1.选择两个大素数p和q（典型值为1024位）。

2.计算

• n = p * q

• z = (p - 1) * (q - 1)

3.选择一个与z互质的数，令其为d

4.找到一个与e使满足

• e * d = 1 (mod z)

5.公开密钥为（e, n），私有密钥为（d, n）

加密方法

1.将明文看成比特串，又将明文划分成 k 位的块 p 即可，这里 k 是满足 2^k < n 的最大整数。

2.对每个数据块 p，计算

• c = p^e (mod n)

c 即为 p 的密文。

解密方法

对每个密文块 c，计算

• p = c^d (mod n)

p 即为明文。

例题

设 p = 3，q = 17，令 e = 13，m = 2进行加密解密。

n = p * q = 3 * 17 = 51

即公钥(e, n) = (13, 51)

z = (p - 1) * (q - 1) = 2 * 16 =32

d = 1/e (mod z) = (k * z + 1) / e = (2 * 32 +1) /13 = 5   k 为 p-1 和 q-1 的最大公约数

则私钥 (d, n) 为 (5, 51)

加密：c = m^e mod n = 2¹³ mod 51 = 32

解密：m = c^d mod n = 32⁵ mod 51 = 2

RSA加解密程序

收集自网络

//C++程序源码，VC++中实现
#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<stdlib.h>   
#include<time.h> 
#include<math.h>
#include<malloc.h>
#define MAX 100
#define LEN sizeof(struct slink)
void sub(int a[MAX],int b[MAX] ,int c[MAX] );
struct slink
{ 
int bignum[MAX];
//bignum[98]用来标记正负号，1正，0负bignum[99]来标记实际长
    struct slink *next;
};
//大数运算

void print( int a[MAX] )
   {
    int i;
    for(i=0;i<a[99];i++)
     printf("%d",a[a[99]-i-1]);
    printf("\n\n");
    return;
   }
int cmp(int a1[MAX],int a2[MAX])
{   int l1, l2;
int i;
l1=a1[99];
l2=a2[99];
if (l1>l2)
     return 1;
    if (l1<l2)
       return -1;
    for(i=(l1-1);i>=0;i--)
   {
    if (a1[i]>a2[i])
     return 1 ;
    if (a1[i]<a2[i])
     return -1;
   }
    return 0;
}
void mov(int a[MAX],int *b)
{
int j;
for(j=0;j<MAX;j++)
   b[j]=a[j];
   return ;
}

//大数相乘（向左移）
void mul(int a1[MAX],int a2[MAX],int *c)
{
int i,j,y,x,z,w,l1,l2;
l1=a1[MAX-1];
l2=a2[MAX-1];
if (a1[MAX-2]=='-'&& a2[MAX-2]=='-')
   c[MAX-2]=0;
else if (a1[MAX-2]=='-')
   c[MAX-2]='-';
else if (a2[MAX-2]=='-')
   c[MAX-2]='-';
for(i=0;i<l1;i++)
{
for(j=0;j<l2;j++)
{
     x=a1[i]*a2[j];
     y=x/10;
     z=x%10;
     w=i+j;
     c[w]=c[w]+z;
     c[w+1]=c[w+1]+y+c[w]/10;
     c[w]=c[w]%10;
}
}
w=l1+l2;
if(c[w-1]==0)w=w-1;
c[MAX-1]=w;
return;
} 
//大数相加，注意进位
void add(int a1[MAX],int a2[MAX],int *c)
{
int i,l1,l2;
int len,temp[MAX];
int k=0;
l1=a1[MAX-1];
l2=a2[MAX-1];
if((a1[MAX-2]=='-')&&(a2[MAX-2]=='-'))
{
c[MAX-2]='-';
}
else if (a1[MAX-2]=='-')
{
mov(a1,temp);
temp[MAX-2]=0;
sub(a2,temp,c);
return;
}
else if (a2[MAX-2]=='-')
{
mov(a2,temp);
temp[98]=0;
sub(a1,temp,c);
return;
}
if(l1<l2)len=l1;
else len=l2;
for(i=0;i<len;i++)
{
c[i]=(a1[i]+a2[i]+k)%10;
k=(a1[i]+a2[i]+k)/10;
}
if(l1>len)
{
for(i=len;i<l1;i++)
{
   c[i]=(a1[i]+k)%10;
      k=(a1[i]+k)/10;   
}
if(k!=0)
{
   c[l1]=k;
   len=l1+1;
}
else len=l1;
}
else
{
for(i=len;i<l2;i++)
{
   c[i]=(a2[i]+k)%10;
   k=(a2[i]+k)/10;   
}
if(k!=0)
{
   c[l2]=k;
   len=l2+1;
}
else len=l2;
}
c[99]=len;
return;
}
//大数相减，注意借位
void sub(int a1[MAX],int a2[MAX],int *c)
{
int i,l1,l2;
int len,t1[MAX],t2[MAX];
int k=0;
l1=a1[MAX-1];
l2=a2[MAX-1];
if ((a1[MAX-2]=='-') && (a2[MAX-2]=='-'))
{
mov(a1,t1);
        mov(a2,t2);
t1[MAX-2]=0;
        t2[MAX-2]=0;
sub(t2,t1,c);
return;
}
else if( a2[MAX-2]=='-')
{
mov(a2,t2);
t2[MAX-2]=0;
add(a1,t2,c);
return;
}
else if (a1[MAX-2]=='-')
{
mov(a2,t2);
t2[MAX-2]='-';
add(a1,t2,c);
return;
}
if(cmp(a1,a2)==1)
{

len=l2;
for(i=0;i<len;i++)
{
if ((a1[i]-k-a2[i])<0)
{
c[i]=(a1[i]-a2[i]-k+10)%10;
     k=1;
}
     else 
{
   c[i]=(a1[i]-a2[i]-k)%10;
      k=0;
}
}

for(i=len;i<l1;i++)
{
   if ((a1[i]-k)<0)
{
c[i]=(a1[i]-k+10)%10;
     k=1;
}
     else 
{
   c[i]=(a1[i]-k)%10;
      k=0;
} 
}
if(c[l1-1]==0)//使得数组C中的前面所以0字符不显示了，如1000-20=0980--->显示为980了
{
      len=l1-1;
   i=2;
   while (c[l1-i]==0)//111456-111450=00006，消除0后变成了6
   {
     len=l1-i;
    i++;
   }
}
else 
{
   len=l1;
}
}
else
if(cmp(a1,a2)==(-1))
{
c[MAX-2]='-';
len=l1;
for(i=0;i<len;i++)
{
if ((a2[i]-k-a1[i])<0)
{
c[i]=(a2[i]-a1[i]-k+10)%10;
     k=1;
}
     else 
{
   c[i]=(a2[i]-a1[i]-k)%10;
      k=0;
}
}
for(i=len;i<l2;i++)
{
    if ((a2[i]-k)<0)
{
c[i]=(a2[i]-k+10)%10;
     k=1;
}
     else 
{
   c[i]=(a2[i]-k)%10;
      k=0;
}   
}
if(c[l2-1]==0)
{ 
   len=l2-1;
   i=2;
   while (c[l1-i]==0)
   {
     len=l1-i;
     i++;
   }
}
else len=l2;

}
else if(cmp(a1,a2)==0)
   {
    len=1;
    c[len-1]=0;
   }
c[MAX-1]=len;
return;
}

//取模数
void mod(int a[MAX],int b[MAX],int *c)//c=a mod b,注意：经检验知道此处A和C的数组都改变了
{ int d[MAX];
mov (a,d);
while (cmp(d,b)!=(-1))//c=a-b-b-b-b-b.......until(c<b)
{
   sub(d,b,c);
   mov(c,d);//c复制给a
} 
return ;
}
//大数相除(向右移)
//试商法,调用以后w为a mod b, C为a div b
void divt(int t[MAX],int b[MAX],int *c ,int *w)
{
int a1,b1,i,j,m;//w用于暂时保存数据
int d[MAX],e[MAX],f[MAX],g[MAX],a[MAX];

mov(t,a);
   for(i=0;i<MAX;i++)
    e[i]=0;
for(i=0;i<MAX;i++)
    d[i]=0;
for(i=0;i<MAX;i++) g[i]=0;
a1=a[MAX-1];
    b1=b[MAX-1];
if (cmp(a,b)==(-1))
{
   c[0]=0;
   c[MAX-1]=1;
   mov(t,w);
   return;
}
else if (cmp(a,b)==0)
{
   c[0]=1;
        c[MAX-1]=1;
   w[0]=0;
   w[MAX-1]=1;
   return;
}
   m=(a1-b1);
    for(i=m;i>=0;i--)//例如341245/3=341245-300000*1--->41245-30000*1--->11245-3000*3--->2245-300*7--->145-30*4=25--->25-3*8=1
{
      for(j=0;j<MAX;j++)
        d[j]=0;
   d[i]=1;
   d[MAX-1]=i+1;
   mov(b,g);
        mul(g,d,e);

   while (cmp(a,e)!=(-1))
   {
    c[i]++;
    sub(a,e,f);
      mov(f,a);//f复制给g
   }
     for(j=i;j<MAX;j++)//高位清零
        e[j]=0;

}
mov(a,w);
if (c[m]==0) c[MAX-1]=m;
else c[MAX-1]=m+1;
return;
}
//解决了 m=a*b mod n
void mulmod(int a[MAX] ,int b[MAX] ,int n[MAX],int *m)
{
int c[MAX],d[MAX];
int i;
for(i=0;i<MAX;i++)
   d[i]=c[i]=0;
mul(a,b,c);
   divt(c,n, d,m);
   for(i=0;i<m[MAX-1];i++)
printf("%d",m[m[MAX-1]-i-1]);
     printf("\nm length is : %d \n",m[MAX-1]);
}
//解决了 m=a^p mod n的函数问题。
void expmod(int a[MAX] ,int p[MAX] ,int n[MAX],int *m)
{
int t[MAX],l[MAX],temp[MAX]; //t放入2，l放入1
int w[MAX],s[MAX],c[MAX],b[MAX],i;
for(i=0;i<MAX-1;i++)
   b[i]=l[i]=t[i]=w[i]=0;
t[0]=2;t[MAX-1]=1;
l[0]=1;l[MAX-1]=1;
    mov(l,temp);
mov(a,m);
    mov(p,b);
while(cmp(b,l)!=0)
{
    for(i=0;i<MAX;i++)
w[i]=c[i]=0;
    divt(b,t,w,c);// c=p mod 2 w= p /2

    mov(w,b);//p=p/2
if(cmp(c,l)==0) //余数c==1
{
for(i=0;i<MAX;i++)
w[i]=0;
mul(temp,m,w);
mov(w,temp);

for(i=0;i<MAX;i++)
w[i]=c[i]=0;
divt(temp,n,w,c);//c为余c=temp % n，w为商w=temp/n
mov(c,temp);
}
for(i=0;i<MAX;i++)
s[i]=0;
mul(m,m,s);//s=a*a
for(i=0;i<MAX;i++)
c[i]=0;
divt(s,n,w,c);//w=s/n;c=s mod n
mov (c,m);
}
for(i=0;i<MAX;i++)
s[i]=0;
mul(m,temp,s);
for(i=0;i<MAX;i++)
c[i]=0;
divt(s,n,w,c);
mov (c,m);//余数s给m
m[MAX-2]=a[MAX-2];//为后面的汉字显示需要，用第99位做为标记
return;
//k=temp*k%n
}

int   is_prime_san(int p[MAX] )
{

   int i,a[MAX],t[MAX],s[MAX],o[MAX]; 
   for(i=0;i<MAX;i++)
    s[i]=o[i]=a[i]=t[i]=0;
   t[0]=1;
   t[MAX-1]=1;
   a[0]=2;// { 2,3,5,7 }
   a[MAX-1]=1;
   sub(p,t,s);
   expmod ( a, s, p ,o);
       if ( cmp(o,t) != 0 ) 
    {
   return 0;
    }
   a[0]=3;
   for(i=0;i<MAX;i++) o[i]=0;
   expmod ( a, s, p ,o);
       if ( cmp(o,t) != 0 )     
    {
   return 0;
    }
      a[0]=5;
   for(i=0;i<MAX;i++) o[i]=0;
   expmod ( a, s, p ,o);
   if ( cmp(o,t) != 0 ) 
   {    
   return 0;
   }
     a[0]=7;
   for(i=0;i<MAX;i++) o[i]=0;
   expmod ( a, s, p ,o);
if ( cmp(o,t) != 0 ) 
{
   return 0;
}
return 1;
}
//检测两个大数之间是否互质
int coprime(int e[MAX],int s[MAX])
{
    int a[MAX],b[MAX],c[MAX],d[MAX],o[MAX],l[MAX];
    int i;
for(i=0;i<MAX;i++)
   l[i]=o[i]=c[i]=d[i]=0;
o[0]=0;o[MAX-1]=1;
l[0]=1;l[MAX-1]=1;
mov(e,b);
mov(s,a);
do
{
if(cmp(b,l)==0)
{
    return 1;
}
for(i=0;i<MAX;i++)
c[i]=0;
divt(a,b,d,c);
mov(b,a);//b--->a
mov(c,b);//c--->b
}while(cmp(c,o)!=0);
//printf("They are not coprime!\n")
return 0;
}
//产生随机素数p和q
void prime_random(int *p,int *q)
{
int i,k;
time_t t; 
p[0]=1;
q[0]=3;

// p[19]=1;
// q[18]=2;

p[MAX-1]=10;
    q[MAX-1]=11;

do
{
    t=time(NULL);
    srand((unsigned long)t);
for(i=1;i<p[MAX-1]-1;i++)
{
k=rand()%10;
p[i]=k;
}
k=rand()%10;
while (k==0)
{
   k=rand()%10;
}
p[p[MAX-1]-1]=k;
}while((is_prime_san(p))!=1);
   printf("素数 p 为 : ");
    for(i=0;i<p[MAX-1];i++)
{
printf("%d",p[p[MAX-1]-i-1]);
}
    printf("\n\n");
   do
{
    t=time(NULL);
    srand((unsigned long)t);
for(i=1;i<q[MAX-1];i++)
{
k=rand()%10;
q[i]=k;
}
}while((is_prime_san(q))!=1);
   printf("素数 q 为 : ");
    for(i=0;i<q[MAX-1];i++)
{
printf("%d",q[q[MAX-1]-i-1]);
}
    printf("\n\n");
return;
}
//产生与（p-1）*（q-1）互素的随机数
void erand(int e[MAX],int m[MAX])
{
int i,k;
time_t t;
e[MAX-1]=5;
printf("随机产生一个与(p-1)*(q-1)互素的 e :");
   do
{
    t=time(NULL);
    srand((unsigned long)t);
for(i=0;i<e[MAX-1]-1;i++)
{
k=rand()%10;
e[i]=k;
}
while((k=rand()%10)==0)
   k=rand()%10;
e[e[MAX-1]-1]=k;
}while(coprime( e, m)!=1);
    for(i=0;i<e[MAX-1];i++)
{
printf("%d",e[e[MAX-1]-i-1]);
}
    printf("\n\n");
return ;
}
//根据上面的p、q和e计算密钥d
void rsad(int e[MAX],int g[MAX],int *d)
{
int   r[MAX],n1[MAX],n2[MAX],k[MAX],w[MAX];
int     i,t[MAX],b1[MAX],b2[MAX],temp[MAX];
mov(g,n1);
mov(e,n2);
for(i=0;i<MAX;i++)
   k[i]=w[i]=r[i]=temp[i]=b1[i]=b2[i]=t[i]=0;
b1[MAX-1]=0;b1[0]=0;//b1=0;
b2[MAX-1]=1;b2[0]=1;//b2=1;
while(1)
{
for(i=0;i<MAX;i++)
     k[i]=w[i]=0;
   divt(n1,n2,k,w);//k=n1/n2;
for(i=0;i<MAX;i++)
   temp[i]=0;
   mul(k,n2,temp);//temp=k*n2;
    for(i=0;i<MAX;i++)
   r[i]=0;
        sub(n1,temp,r);
   if((r[MAX-1]==1) && (r[0]==0))//r=0
   {
    break;
   }
   else
   {
    mov(n2,n1);//n1=n2;
    mov( r,n2);//n2=r;
    mov(b2, t);//t=b2;
    for(i=0;i<MAX;i++)
        temp[i]=0;
    mul(k,b2,temp);//b2=b1-k*b2;
    for(i=0;i<MAX;i++)
        b2[i]=0;
    sub(b1,temp,b2);
    mov(t,b1);
   }
}
    for(i=0;i<MAX;i++)
     t[i]=0;
    add(b2,g,t);
    for(i=0;i<MAX;i++)
     temp[i]=d[i]=0;
     divt(t,g,temp,d);
    printf("由以上的(p-1)*(q-1)和 e 计算得出的 d : ");
    for(i=0;i<d[MAX-1];i++)
printf("%d",d[d[MAX-1]-i-1]);
    printf("\n\n");
}
//求解密密钥d的函数(根据欧几里得算法)
unsigned long rsa(unsigned long p,unsigned long q,unsigned long e) //求解密密钥d的函数(根据欧几里得算法)
{
unsigned long g,k,r,n1,n2,t;
unsigned long b1=0,b2=1;
g=(p-1)*(q-1);
n1=g;
n2=e;
    
while(1)
{ k=n1/n2;
   r=n1-k*n2;
if(r!=0)
{
     n1=n2;
     n2=r;
     t=b2;
     b2=b1-k*b2;
     b1=t;
}
else
{
   break;
}
}
    return (g+b2)%g;
}
//加密和解密
void printbig(struct slink *h)
{
struct slink *p;
     int i;
p=(struct slink * )malloc(LEN);
p=h;
   if(h!=NULL)
do 
{
   for(i=0;i<p->bignum[MAX-1];i++)
        printf("%d",p->bignum[p->bignum[MAX-1]-i-1]);
        p=p->next;
}
while(p!=NULL);
    printf("\n\n");
}
struct slink *input(void)//输入明文并且返回头指针，没有加密时候转化的数字
{   
struct slink *head;
struct slink *p1,*p2;
     int i,n,c,temp;
    char ch;
     n=0;
p1=p2=(struct slink * )malloc(LEN);
head=NULL;
printf("\n请输入你所要加密的内容 : \n");
while((ch=getchar())!='\n')
   {
i=0;
c=ch;
if(c<0)
{
   c=abs(c);//把负数取正并且做一个标记
   p1->bignum[MAX-2]='0';
}
    else
{
   p1->bignum[MAX-2]='1';
}
while(c/10!=0)
{
   temp=c%10;
   c=c/10;
   p1->bignum[i]=temp;
   i++;
}
p1->bignum[i]=c;
    p1->bignum[MAX-1]=i+1;
n=n+1;
if(n==1)
   head=p1;
else p2->next=p1;
p2=p1;
    p1=(struct slink * )malloc(LEN);
}
    p2->next=NULL; 
return(head);
}
//加密模块儿，例如C = P^e mod n
struct slink *jiami(int e[MAX],int n[MAX],struct slink *head)
{
struct slink *p;
struct slink *h;
     struct slink *p1,*p2;
     int m=0,i;
printf("\n");
   printf("加密后形成的密文内容：\n");
p1=p2=(struct slink* )malloc(LEN);
h=NULL;
    p=head;
   if(head!=NULL)
do 
{
      
   expmod( p->bignum , e ,n ,p1->bignum);
for(i=0;i<p1->bignum[MAX-1];i++)
{
printf("%d",p1->bignum[p1->bignum[MAX-1]-1-i]);
}
   m=m+1;
if(m==1)
   h=p1;
else p2->next=p1;
p2=p1;
    p1=(struct slink * )malloc(LEN);
    p=p->next;
} while(p!=NULL);
p2->next=NULL;   
     p=h;
    printf("\n");
return(h);
    
}
//解密模块儿，例如P = C^d mod n
void jiemi(int d[MAX],int n[MAX],struct slink *h)
{
     int   i,j,temp;
struct slink *p,*p1;
char ch[65535];
p1=(struct slink* )malloc(LEN);
p=h;
j=0;

if(h!=NULL)
   do 
{
   for(i=0;i<MAX;i++)
            p1->bignum[i]=0;
   expmod( p->bignum , d ,n ,p1->bignum);
   temp=p1->bignum[0]+p1->bignum[1]*10+p1->bignum[2]*100;
   if (( p1->bignum[MAX-2])=='0')
   {
    temp=0-temp;
   }
   
    ch[j]=temp;
   j++;
     p=p->next;
}while (p!=NULL);
printf("\n");
printf("解密密文后所生成的明文:\n");
for(i=0;i<j;i++)
   printf("%c",ch[i]);
printf("\n");
return;
}
//选择一种操作
void menu()
{
printf("R--------产生 密钥对\n");
printf("T--------简单测试\n");
printf("Q--------退出\n");
printf("请选择一种操作:");
}
//主MAIN函数
void main()
{
    int i;
   char c;
       int p[MAX],q[MAX],n[MAX],d[MAX],e[MAX],m[MAX],p1[MAX],q1[MAX];
struct slink *head,*h1,*h2;
for(i=0;i<MAX;i++)
     m[i]=p[i]=q[i]=n[i]=d[i]=e[i]=0;//简单初始化一下

while (1)
{
   menu();
   c=getchar();
   getchar();//接受回车符
if ((c=='R') || (c=='r'))//操作r产生密钥对
{        
   for(i=0;i<MAX;i++)
             m[i]=p[i]=q[i]=n[i]=d[i]=e[i]=0;
    printf("\n\n随机密钥对产生如下：\n\n");
         prime_random(p,q);//随机产生两个大素数
         mul(p,q,n);//p*q
    printf("由 p、q 得出 n :");
    print(n);
         mov(p,p1);
         p1[0]--;    //p-1
            mov(q,q1);
         q1[0]--;      //q-1
         mul(p1,q1,m);//m=(p-1)*(q-1)
         erand(e,m);//产生一个与m互素的随机数
         rsad(e,m,d);//e * d = 1 mod m
    printf("密钥对产生完成，现在可以直接进行加解密!\n");
      printf("\n按任意键回主菜单…………");
    getchar();
}
else if((c=='T') || (c=='t'))//加密解密测试
   {
     head=input();
              h1=jiami( e, n, head);
                 jiemi( d, n, h1);
     printf("\nRSA测试工作完成!\n");
    printf("\n按任意键回主菜单…………");
    getchar();
   }
else if ((c=='Q') || (c=='q'))//结束退出
{break;}
}
}

CTF例题

以我在2020 HECTF上碰到过的一道较为基础的Crypto题为例：

RSA

由于未记录详细题目，只能通过网上别人的WP还原题目，题目大概的意思是已知RSA密码的p、q、e、c几个参数，求明文m。

解题

1.脚本来源：https://www.cnblogs.com/Anber82/archive/2004/01/13/14032291.html#rsa

已知 公钥（n, e） 和 密文 c,所以首先将n用yafu分解为q,p；
脚本解得flag:

import gmpy2
p = 2499568793
q = 4568695582742345507136251229217400959960856046691733722988345503429689799935696593516299458516865110324638359470761456115925725067558499862591063153473862179550706262380644940013531317571260647226561004191266100720745936563550699000939117068559232225644277283541933064331891245169739139886735615435506152070330233107807124410892978280063993668726927377177983100529270996547002022341628251905780873531481682713820809147098305289391835297208890779643623465917824350382592808578978330348769060448006691307027594085634520759293965723855183484366752511654099121387261343686017189426761536281948007104498017003911
e = 65537
c = 575061710950381118206735073806398116370706587076775765253483131078316908073202143802386128272374323616239083134747318254436706806781744501903333604772961927966747648954315962269321297121495398057938617145017999482722197661065698707836824505023856306403892307944203245563411961302499347604417024064678999003637933185177922884103362203639349298263339808508185861692596967147081382566246627668898774233029198694500565511361867375668367875805985660705137109665107860799277624050210666866958502948062330037309873148963011192405012811945540153592090345668265964477204465327474208098404082920129178960510763496025906621820
n = p * q
fn = (p - 1) * (q - 1)
d = gmpy2.invert(e, fn)
h = hex(gmpy2.powmod(c, d, n))[2:]
if len(h) % 2 == 1:
    h = '0' + h
s = h.decode('hex')
print s

2.脚本来源：https://www.cnblogs.com/Anber82/archive/2004/01/13/14032291.html#rsa

已知ne求私钥d，通过密文c得出明文m。脚本：

import libnum
from Crypto.Util.number import long_to_bytes

p = 2499568793
q = 4568695582742345507136251229217400959960856046691733722988345503429689799935696593516299458516865110324638359470761456115925725067558499862591063153473862179550706262380644940013531317571260647226561004191266100720745936563550699000939117068559232225644277283541933064331891245169739139886735615435506152070330233107807124410892978280063993668726927377177983100529270996547002022341628251905780873531481682713820809147098305289391835297208890779643623465917824350382592808578978330348769060448006691307027594085634520759293965723855183484366752511654099121387261343686017189426761536281948007104498017003911

e = 65537

c = 575061710950381118206735073806398116370706587076775765253483131078316908073202143802386128272374323616239083134747318254436706806781744501903333604772961927966747648954315962269321297121495398057938617145017999482722197661065698707836824505023856306403892307944203245563411961302499347604417024064678999003637933185177922884103362203639349298263339808508185861692596967147081382566246627668898774233029198694500565511361867375668367875805985660705137109665107860799277624050210666866958502948062330037309873148963011192405012811945540153592090345668265964477204465327474208098404082920129178960510763496025906621820
n = 11419768903339716189261532371559705252086398275876008505047375123074727093589680611869748263351554093957968142343831331654606932684767042958427409579115435445187908134556329979271179879129295667476493886787230948520371350715808988496083694717544298343260369816980228394498856751096191942011545898984240281874509791880690092840536597771674772617299407710771426964764347566008897012753022763270832647775571317162594044338095870404550665457899223394942640876850692848671826594750236910363027949459768124646230555766323417693441861436560072288812137944884954974348317322412816157152702695143094487806945533233359294549423


d = libnum.invmod(e, (p - 1) * (q - 1))
print("d:" + d)

m = pow(c, d, n)  # m 的十进制形式
string = long_to_bytes(m)  # m明文
print(string)  # 结果为 b‘ m ’ 的形式

解题脚本

收集自网络

#-*- coding:utf-8 -*-
# 当指数e和Phi(n)不互素时
from Crypto.Util.number import *

import sympy

def gcd(a,b):
    if a < b:
        a,b = b,a
    while b != 0:
        tem = a % b
        a = b
        b = tem
    return a

def invalidExponent(p,q,e,c):
    phiN = (p - 1) * (q - 1)
    n = p * q
    GCD = gcd(e, phiN)
    if (GCD == 1):
        return "Public exponent is valid....."
    d = inverse(e//GCD,phiN)
    c = pow(c, d, n)
    plaintext = sympy.root(c, GCD)
    plaintext = long_to_bytes(plaintext)
    return plaintext


def main():
    e = 0x20002

    c = 69775954010477827342655007357413905879265207201140046408669586721885526123784907133716642304622235420317538384169817488136355157658329703705226141938991105912868209447036610553660972001461632840370922684108791263764483626927583087998066070299767122268085587208956687449243493403662943691619787801332549149107

    p = 12470704223521630361963826771946763220892587623191431207923413178791149916874153397100361890510496084700189763294677638398021009427510131598570281465633547

    q = 12470704223521630361963826771946763220892587623191431207923413178791149916874153397100361890510496084700189763294677638398021009427510131598570281465633283

    plaintext = invalidExponent(p,q,e,c)
    print plaintext

main()