RSA非对称密码算法学习笔记

学习来源：B站up:DoraHcaks

学习路径：密码学7.1｜RSA非对称密码算法_哔哩哔哩_bilibili

1.基础数学知识

1.1欧几里得辗转相除法

假设正整数a≥b，求a和b的最大公因数gcd(a, b) = ?

        (1)如果a mod b = 0， 即余数 r = 0，则gcd(a, b) = b

        (2)否则，令 r = a mod b，gcd(a, b) = gcd(b, r)，递归直至 r = 0，满足情况(1)

举例：a = 254， b = 8

        254 = 8 * 31 + 6，r = 6 ≠ 0 => gcd(254, 8) = gcd(8, 6)

            8 = 6 * 1 + 2，  r = 2 ≠ 0 =>     gcd(8, 6) = gcd(6, 2)

            6 = 2 * 3，        r = 0 = 0 => gcd(254, 8) = gcd(8, 6) = gcd(6, 2) = 2

多项式时间内可解的问题(P问题)

已知大合数a，求小于a的大素数b，使得a与b互素，即gcd(a, b) = 1。

该问题能够使用欧几里得辗转相除法快速求解。

        随机选择一个大素数b，如果即gcd(a, b) ≠ b，则gcd(a, b) = 1

        因此，这样的大素数有很多，且很容易找。

1.2 因子分解困难问题

大数的因子分解问题，非常困难！

初始化：随机选择2个不同的大素数p, q，计算n = p * q。

        公开 n，求p, q

举例1：素数p = 5，q = 7，计算n = p * q = 35.

        已知：n = 35，求p, q

        答：暴力搜索，令p, q = 2, 3 ....

举例2：保密数据p, q，公开数据n

        公开 n = 8239121061250502943937 = p * q

for(i >= 2 && i <= √n) {
    for(j >= 2 && j <= √n) {
        if (8239121061250502943937 == i * j) {
            System.out.println(i, j);
        }
    }
}

如果是2048bit的大整数，n = - 110 + 1，则计算机需要100年以上时间破解。不可行。

因子分解是NP问题：求解时，需要for循环，暴力搜索，需要指数时间；但是，一旦已知解，则可以快速验证解的正确性。

1.3 费马小定理

若p为素数，a是正整数且不能被p整除，互素(互质)，则

注：证明视频里有，如果有需要可以去视频学习，这里省去

举例3：p = 7， a = 3，3不能被7整除，根据费马小定理

公式推导：

 举例4：p = 11， a = 5，5不能被11整除，根据费马小定理

公式推导：

1.4 欧拉函数

小于n，且与n互素的正整数个数，记为，习惯上

结论：如果n是素数，则