量化面试绿皮书：19. 相关系数-优快云博客

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19. 相关系数

假设有三个随机变量x、y和z。
x与y之间的相关系数为0.8，x与z之间的相关系数也是0.8。

Q: 那么y与z之间的最大相关系数和最小相关系数分别是多少？

A: 给定三个随机变量 $x$ 、 $y$ 和 $z$ ，其中 $x$ 与 $y$ 的相关系数 $ρxy=0.8\rho_{xy} = 0.8$ ， $x$ 与 $z$ 的相关系数 $ρxz=0.8\rho_{xz} = 0.8$ 。需要求解 $y$ 与 $z$ 的相关系数 $ρyz\rho_{yz}$ 的最大值和最小值。

相关系数矩阵必须是半正定矩阵，这一条件约束了 $ρyz\rho_{yz}$ 的可能取值范围。相关系数矩阵为：

$\begin{bmatrix} 1 & 0.8 & 0.8 \\ 0.8 & 1 & \rho_{yz} \\ 0.8 & \rho_{yz} & 1 \end{bmatrix}$

其中 $ρyz\rho_{yz}$ 是待求量。

求解过程

计算矩阵行列式：

$\det(R) = 1 \cdot (1 \cdot 1 - \rho_{yz} \cdot \rho_{yz}) - 0.8 \cdot (0.8 \cdot 1 - \rho_{yz} \cdot 0.8) + 0.8 \cdot (0.8 \cdot \rho_{yz} - 1 \cdot 0.8)$

简化后得：

$\det(R) = -\rho_{yz}^2 + 1.28\rho_{yz} - 0.28$

半正定性要求 $det⁡(R)≥0\det(R) \geq 0$ ，即：

$-\rho_{yz}^2 + 1.28\rho_{yz} - 0.28 \geq 0$

两边乘以 $- 1$ （不等号方向反转）：

$\rho_{yz}^2 - 1.28\rho_{yz} + 0.28 \leq 0$
求解二次不等式：
- 解方程 $ρyz2−1.28ρyz+0.28=0\rho_{yz}^2 - 1.28\rho_{yz} + 0.28 = 0$ ：
  
  $\text{判别式} \quad d = (-1.28)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 0.28 = 1.6384 - 1.12 = 0.5184, \quad \sqrt{d} = 0.72$
  
  $\rho_{yz} = \frac{1.28 \pm 0.72}{2} \implies \rho_{yz} = \frac{2.00}{2} = 1.00 \quad \text{或} \quad \rho_{yz} = \frac{0.56}{2} = 0.28$
- 二次函数 $ρyz2−1.28ρyz+0.28\rho_{yz}^2 - 1.28\rho_{yz} + 0.28$ 的图象开口向上，因此不等式 $ρyz2−1.28ρyz+0.28≤0\rho_{yz}^2 - 1.28\rho_{yz} + 0.28 \leq 0$ 的解为 $ρyz∈[0.28,1]\rho_{yz} \in [0.28, 1]$ 。
验证边界值：
- 当 $ρyz=1\rho_{yz} = 1$ 时， $y$ 和 $z$ 完全正相关，矩阵半正定，且符合相关系数定义。
- 当 $ρyz=0.28\rho_{yz} = 0.28$ 时，矩阵半正定，且可通过具体构造随机变量实现（例如，设 $x$ 为标准正态分布， $y = 0.8x + e_y$ ， $z = 0.8x - e_y$ ，其中 $e_y$ 与 $x$ 独立，方差为 0.36，则 $ρyz=0.28\rho_{yz} = 0.28$ ）。
- 其他主子式（如 1x1 和 2x2 主子式）在 $ρyz∈[0.28,1]\rho_{yz} \in [0.28, 1]$ 内均非负，满足半正定性。
直观解释：
- 由于 $y$ 和 $z$ 均与 $x$ 正相关（ $ρxy=0.8,ρxz=0.8\rho_{xy} = 0.8, \rho_{xz} = 0.8$ )，它们之间不能负相关，且最小相关系数大于 0。
- 最大值 1 表示 $y$ 和 $z$ 完全线性相关。
- 最小值 0.28 表示 $y$ 和 $z$ 的线性关系最弱但仍为正。

结果

最大相关系数： $1.00$
最小相关系数： $0.28$ （或 $725\frac{7}{25}$ ）

因此， $y$ 与 $z$ 之间的相关系数 $ρyz\rho_{yz}$ 的取值范围为 $[0.28, 1]$ ，最大值为 $1.00$ ，最小值为 $0.28$ 。

$\boxed{\text{最大相关系数：}1.00 \quad \text{最小相关系数：}0.28}$

Python 实现

以下是使用Python计算y与z之间最大和最小相关系数的实现代码：

import numpy as np
from numpy.typing import NDArray


def calculate_correlation_bounds() -> tuple[float, float]:
    """计算三个随机变量y与z之间的相关系数边界。

    已知条件：
        - x与y的相关系数 ρ_xy = 0.8
        - x与z的相关系数 ρ_xz = 0.8

    数学原理：
        相关系数矩阵必须是半正定矩阵。通过求解相关系数矩阵的行列式不等式：
        det([[1,   0.8, 0.8 ],
            [0.8, 1,   ρ_yz],
            [0.8, ρ_yz, 1  ]]) ≥ 0
        得到二次不等式：ρ_yz² - 1.28ρ_yz + 0.28 ≤ 0
        解此不等式可得ρ_yz的取值范围。

    Returns:
        tuple[float, float]: 包含两个元素的元组
            - 第一个元素：y与z的最小相关系数
            - 第二个元素：y与z的最大相关系数
    """
    # 相关系数矩阵参数
    rho_xy: float = 0.8
    rho_xz: float = 0.8

    # 计算二次方程的系数
    a: float = 1.0
    b: float = -2 * rho_xy * rho_xz
    c: float = rho_xy**2 + rho_xz**2 - 1

    # 计算判别式
    discriminant: float = b**2 - 4 * a * c

    # 计算二次方程的根（ρ_yz的可能边界）
    root1: float = (-b + np.sqrt(discriminant)) / (2 * a)
    root2: float = (-b - np.sqrt(discriminant)) / (2 * a)

    # 确定最小和最大相关系数
    min_corr: float = min(root1, root2)
    max_corr: float = max(root1, root2)

    return min_corr, max_corr


def validate_correlation_matrix(rho_yz: float) -> bool:
    """验证给定相关系数矩阵的半正定性。

    Args:
        rho_yz (float): y与z之间的相关系数

    Returns:
        bool: 如果矩阵半正定返回 True，否则返回 False
    """
    # 构造相关系数矩阵
    corr_matrix: NDArray[np.float64] = np.array(
        [[1.0, 0.8, 0.8], [0.8, 1.0, rho_yz], [0.8, rho_yz, 1.0]], dtype=np.float64
    )

    # 检查所有特征值是否非负
    eigenvalues: NDArray[np.float64] = np.linalg.eigvals(corr_matrix)
    return np.all(eigenvalues >= 0)


# 计算相关系数边界
min_corr, max_corr = calculate_correlation_bounds()

# 验证边界值的有效性
is_min_valid = validate_correlation_matrix(min_corr)
is_max_valid = validate_correlation_matrix(max_corr)

# 输出结果
print(
    f"y与z的最小相关系数: {min_corr:.4f} (验证: {'通过' if is_min_valid else '未通过'})"
)
print(
    f"y与z的最大相关系数: {max_corr:.4f} (验证: {'通过' if is_max_valid else '未通过'})"
)

# 验证边界内的值（0.5）
mid_val = 0.5
is_mid_valid = validate_correlation_matrix(mid_val)
print(f"\n验证中间值ρ_yz={mid_val}: {'有效' if is_mid_valid else '无效'}")

代码说明

calculate_correlation_bounds() 函数：
- 通过求解相关系数矩阵的行列式不等式 $ρyz2−1.28ρyz+0.28≤0\rho_{yz}^2 - 1.28\rho_{yz} + 0.28 \leq 0$ 计算边界
- 返回最小相关系数(0.28)和最大相关系数(1.0)
validate_correlation_matrix() 函数：
- 构造相关系数矩阵并计算特征值
- 验证矩阵的半正定性（所有特征值 $≥0\geq 0$ ）
main() 函数：
- 计算并输出相关系数边界
- 验证边界值和中间值的有效性

输出结果

y与z的最小相关系数: 0.2800 (验证: 通过)
y与z的最大相关系数: 1.0000 (验证: 通过)

验证中间值ρ_yz=0.5: 有效

关键数学推导

相关系数矩阵：

$\begin{bmatrix} 1 & 0.8 & 0.8 \\ 0.8 & 1 & \rho_{yz} \\ 0.8 & \rho_{yz} & 1 \end{bmatrix}$

行列式非负要求：

$-\rho_{yz}^2 + 1.28\rho_{yz} - 0.28 \geq 0$

解得：

$\rho_{yz} \in [0.28, 1.00]$

这道面试题的本质是考察候选人将金融统计问题转化为矩阵代数约束的能力和对金融模型可行域的边界分析思维，这类能力直接对应资产组合优化、风险因子建模和衍生品对冲中的相关性矩阵验证需求。

🔑 核心知识点

相关系数矩阵的数学性质
- 半正定性要求（所有特征值 ≥0）是金融模型的基础约束，确保资产组合方差非负。
- 行列式不等式 $ρyz2−1.28ρyz+0.28≤0\rho_{yz}^2 - 1.28\rho_{yz} + 0.28 \leq 0$ 本质是协方差矩阵可行域的边界条件。
多元随机变量的相关性结构
- 通过公共因子（如本题中的 $x$ ）推导隐含相关性边界，类似多资产组合中的因子暴露分析。
- 最小相关系数 $0.28$ 反映残差项的独立性约束（ $\varepsilon_y$ , $\varepsilon_z$ ，其中 $Cov(εy,εz)≥0\mathrm{Cov}(\varepsilon_y, \varepsilon_z) \geq 0$ ）。
量化金融中的实际应用
- 风险模型：验证因子相关性矩阵有效性（如Barra风险模型）。
- 衍生品定价：多资产期权需确保相关系数矩阵合法（如彩虹期权）。
- 组合优化：违反半正定性将导致马科维茨前沿计算失效。

📊 面试评估维度

考察维度	具体表现要求	本题对应点
数学抽象能力	将统计约束转化为矩阵代数问题	通过相关系数矩阵行列式 $≥0\geq 0$ 推导二次不等式
边界分析思维	识别可行域边界并验证极端值	计算最小/最大相关系数（0.28和1.0），并验证其数学可行性
金融直觉	理解相关性在金融模型中的实际意义	解释为何 $ρyz\rho_{yz}$ 不能为负（若为负，组合风险可能被低估）
编程实现能力	将数学推导转化为可验证代码	用Python实现矩阵半正定性检查（特征值 $≥0\geq 0$ ）

🧩 典型回答框架

建立数学模型
- 写出相关系数矩阵：
  
  $\begin{bmatrix} 1 & 0.8 & 0.8 \\ 0.8 & 1 & \rho_{yz} \\ 0.8 & \rho_{yz} & 1 \end{bmatrix}$
- 半正定性要求： $det⁡(R)≥0\det(R) \geq 0$ 且所有主子式 $≥0\geq 0$ 。
推导不等式约束
- 计算行列式：
  
  $\det(R) = -\rho_{yz}^2 + 1.28\rho_{yz} - 0.28 \geq 0$
- 化简为二次不等式：
  
  $\rho_{yz}^2 - 1.28\rho_{yz} + 0.28 \leq 0$
求解边界值
- 求根公式：
  
  $\rho_{yz} = \frac{1.28 \pm \sqrt{1.28^2 - 4 \times 0.28}}{2} = 1.0 \quad \text{或} \quad 0.28$
- 解区间： $ρyz∈[0.28,1.0]\rho_{yz} \in [0.28, 1.0]$
金融意义解释
- 最大值1.0： $y$ 和 $z$ 完全共线性（如两只高度关联的股票）。
- 最小值0.28： $y$ 和 $z$ 通过 $x$ 弱相关（如同一行业的不同公司）。