插入排序与归并排序——减治法与分治法

插入排序——减治法

算法思想

插入排序是在一个已经有序的小序列的基础上，一次插入一个元素。
当然，刚开始这个有序的小序列只有1个元素，就是第一个元素。比较是从有序序列的末尾开始，也就是想要插入的元素和已经有序的最大者开始比起，如果比它大则直接插入在其后面，否则一直往前找直到找到它该插入的位置。
如果碰见一个和插入元素相等的，那么插入元素把想插入的元素放在相等元素的后面。
所以，相等元素的前后顺序没有改变，从原无序序列出去的顺序就是排好序后的顺序，所以插入排序是稳定的。

代码

void print(vector<int>& a, int n, int i) {
    cout << "step" << i << ": ";
    for (int j = 0; j < n; j++) {
        cout << a[j] << " ";
    }
    cout << endl;
}

void insertionSort(vector<int>& a, int n) {
    for (int i = 1; i < n; ++i) {
        if (a[i] < a[i - 1]) {   // 若第i个元素大于i-1元素，直接插入。小于的话，移动有序表后插入
            int j = i - 1;
            int x = a[i];        // 复制为哨兵，即存储待排序元素
            while (j >= 0 && x < a[j]) {   // 查找在有序表的插入位置,还必须要保证 j 是 >=0 的 因为 a[j] 要合法
                a[j + 1] = a[j];
                j--;          // 元素后移
            }
            a[j + 1] = x;     // 插入到正确位置
        }
        print(a, n, i);       // 打印每趟排序的结果
    }
}
​
insertionSort(A, A.size());
for (auto i : A)
{
    cout << i << " ";
}
cout << endl;

归并排序——分治法

算法思想

1、把长度为 n 的输入序列分成两个长度为 n/2 的子序列；

2、对这两个子序列分别采用归并排序；

3、 将两个排序好的子序列合并成一个最终的排序序列。

图解

特点

1、分而治之
2、递归
3、稳定
4、不是“就地排序算法”（就地排序：所需的辅助空间并不依赖于问题的规模，即辅助空间是O(1)，则称之为就地排序。）
空间复杂度：O(n)
5、时间复杂度：O(nlogn)

代码

void mergeSortCore(vector<int>& data, vector<int>& dataTemp, int low, int high) {
    // datatemp用来存放归并排序后的数组
    if (low >= high) return;
    int mid = (low + high) / 2;
    int start1 = low, end1 = mid, start2 = mid + 1, end2 = high;
    mergeSortCore(data, dataTemp, start1, end1);
    mergeSortCore(data, dataTemp, start2, end2);
    int index = low;
    while (start1 <= end1 && start2 <= end2) {
        dataTemp[index++] = data[start1] < data[start2] ? data[start1++] : data[start2++];
    }
​
    while (start1 <= end1) {
        dataTemp[index++] = data[start1++];
    }
​
    while (start2 <= end2) {
        dataTemp[index++] = data[start2++];
    }
​
    for (index = low; index <= high; ++index) {
        data[index] = dataTemp[index];
    }
}
​
void mergeSort(vector<int>& data) {
int len = data.size();
vector<int> dataTemp(len, 0);
mergeSortCore(data, dataTemp, 0, len - 1);
}
​
mergeSort(A);
for (auto i : A)
{
    cout << i << endl;
}