动态规划总结(10月3日集训)

1. 基础动态规划

1.1 最长不下降序列

题目描述：输入n个数（1 <= n <= 10⁴），输出最长不下降序列的长度。
（1） 输出长度

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1007, INF = 1e9 + 7;
int f[N];
int main () {
	int n;
	scanf("%d", &n);
	fill(f, f+n, INF);
	for(int i = 1, x;i <= n;++i) {
		scanf("%d", &x);
		int k = lower_bound(f, f+n, x) - f;
		f[k] = x;
	}
	int k = lower_bound(f, f+n, INF) - f;
	printf("%d\n", k);
	return 0;
}

（2）长度+序列
需要用到递归。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1007, INF = 1e9 + 7;
int f[N], pr[N], a[N], b[N];
void print(int k) {
	if(!k) return;
	print(pr[k]);
	printf("%d ", a[k]);
}
int main () {
	int n;
	scanf("%d", &n);
	fill(f, f+n, INF);
	for(int i = 1;i <= n;++i) {
		scanf("%d", a+i);
		int k = lower_bound(f, f+n, a[i]) - f;
		f[k] = a[i], b[k] = i;
		if(k) pr[i] = b[k-1];
	}
	int k = lower_bound(f, f+n, INF) - f;
	printf("%d\n", k);
	print(b[k-1]);
	return 0;
}

2.背包问题

2.1 01背包

例：采药

1.二维dp

状态转移方程：f[i][j] = max(f[i-1][j], f[i-1][j-w[i]+c[i])
初始值：f[0][0] = 0

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1e3 + 1;
int dp[N][N], v[N], w[N], t, m;
int main() {
	scanf("%d%d",&t,&m);
	for(int i = 1;i <= m;++i)
		scanf("%d%d",&w[i],&v[i]);
	for(int i = 1;i <= m;i++)
		for(int j = 1;j <= t;j++){
			dp[i][j] = dp[i-1][j];
			if(j >= w[i]) dp[i][j] = max(dp[i-1][j], v[i]+dp[i-1][j-w[i]]);
		}
	printf("%d", dp[m][t]);
	return 0;
}
内存：584KB。

2.滚动数组

如果你仔细观察，就会发现更新第i行只需要看第i-1行就可以了，所以可以用滚动数组压至两行。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1e3 + 1;
int f[2][N], v, w, u = 1, t, m;
int main() {
	scanf("%d%d",&t,&m);
	for(int i = 1;i <= m;++i) {
		scanf("%d%d", &v, &w);
		for(int j = 1;j <= t;++j) {
			f[u][j] = f[u^1][j];
			if(j >= v) f[u][j] = max(f[u][j], f[u^1][j-v]+w);
		}
		u ^= 1;
	}
	printf("%d", f[m&1][t]);
	return 0;
}

内存从584KB降到了200KB。

3.降维（最好的方法）

2.2 最长公共子序列

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
char s1[250], s2[250];
int f[250][250];
int main() {
    scanf("%s%s", s1 + 1, s2 + 1);
    int s1s = strlen(s1 + 1), s2s = strlen(s2 + 1);

    for (int i = 1; i <= s2s; ++i)
        for (int j = 1; j <= s1s; ++j) {
            if (s2[i] == s1[j])
                f[i][j] = f[i - 1][j - 1] + 1;
            else
                f[i][j] = max(f[i][j - 1], f[i - 1][j]);
        }

    printf("%d", f[s2s][s1s]);
    return 0;
}